湖南省2023年普通高等学校对口招生考试。
数学模拟试卷。
班级姓名计分
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
1、含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则a +b的值为。
a．0 b．1 c．—1 d．
2、下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数、又是偶函数的函数一定是其中正确的命题的个数是。
a．4个 b．1个 c．2个 d．3个。
3、 设向量。
a． b． c．－ d．－
4、在等差数列1，4，7，……中，5995是它的。
a．第1999项 b．第2005项 c．第2003项 d．第2001项。
5、某小学为了让同学们记住北京奥运会开幕的时间，让同学们做一个游戏，把***这个数中的8个数字进行任意排列，规定最高位不能是0，看谁得到的数字最多，则符合条件的数字最多有。
a、35b、105 c、140 d、280
6、函数y =cos2x的图象，可由y=cos(2x－的图象，经过下列哪种平移变换得到。
a．向左平移个单位 b．向右平移个单位。
c．向左平移个单位 d．向右平移个单位。
7、．若一个圆的圆心在抛物线的焦点处，且此圆与直线相切，则这个圆的方程是。
a． b．
c． d．
8、在平面内的两条直线、都平行于平面是平面的。
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件。
c．充分必要条件 d．不充分也不必要条件。
9、已知、记），…则。
abc、 d、
10、的值为。
a．1bc．2 d．不存在。
二．填空题（每小题5分，共40分）
11、已知。
12、函数的定义域为。
13、，则。
15、已知等差数列的前项和为，且，则为。
16、复数，则的三角形式为。
17、已知。则。
18、如图所示，在四面体abcd中，e、f分别是ac与bd的中点，若cd = 2ab = 4，ef⊥ba，则ef与cd所成角为。
答题卡。一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
二、填空题（每小题5分，共40分）
三．解答题（本大题共7小题，共60分，解答写出文字或演算步骤。）
19、已知 （10分）
1） 若pq，求实数m的取值范围；
2） 若，求实数m的取值范围。
20、已知，（）1）求关于的表达式（可含），并求的最小正周期；
2）若，且的最小值为5，求的值。
21、已知等差数列满足，，其前项和为．
ⅰ）若，求；
ⅱ）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，求．
1）设数列公差为，由，，得。
即∴， 而，即，解得6分。
2）由，得解之得（舍），12分。
22、一个透明的口袋内装有分别写着“08”、“奥运”且大小相同的球共7个，已知从摸出2个球都写着“奥运”的概率是，甲、乙两个小朋友做游戏采用不放回的方式从口袋中轮流摸取一个球，甲先选，乙后选取，然后甲再取……，直到两个小朋友中有1个人取得“奥运”时游戏终止，每个球在每次被取到的机会均相同。
1）、求该口袋内装有写着“08”的球的个数。
2）、求当游戏终止时总取球次数不多余3的概率。
23、已知抛物线c：，点p（1，-1）在抛物线c上，过点p作斜率为、的两条直线，分别交抛物线c于异于点p的两点a、b，且满足。
ⅰ）求抛物线c的焦点坐标；
ⅱ）若点m满足，求点m的横坐标。
解：（ⅰ将p（1，－1）代入抛物线的方程得=－1，抛物线的方程为，即，
焦点坐标为f4分。
ⅱ）设直线的方程为 ，联立方程。
消去y得 ，
则，即7分。
由9分。同理，设直线的方程为 ，联立方程。
消y得 ,则9分。
设点的坐标为，由，则．……11分，又∵. 即点m的横坐标为定值。……13分。
以下两题为选作题，考生可任选一题作答，如果两题都作了答，则只给第23题记分，每题10分。
24、已知在时有极值0。
（i）求常数a、b的值；
ii）求的单调区间。
解：（i），由题知：
联立<1>、<2>有：或………4分。
当时， 这说明此时为增函数，无极值，舍去………6分。
当时， 故方程有根或。
由表可见，当时，有极小值0，故符合题意………9分。
（ii）由上表可知：的减函数区间为。
的增函数区间为或………12分。
25、某民营企业生产a、b两种产品，根据市场调查与**，a产品的利润与投资成正比，其关系如图1，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位：万元）
1）分别将a、b两种产品的利润表示为投资的函数关系式写出。
2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入a、b两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）
解：（1）设投资为x万元，a产品的利润为 f (x) 万元，b产品的利润为 g (x) 万元。
由题设。由图知。
2）设a产品投入x万元，则b产品投入10－x万元；设企业利润为y万元。
答：当a产品投入3.75万元，b产品投入6.25万元时，企业获得大利润约4万元。
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