数学试题（理科）
第ⅰ卷（共60分）
1、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1-i，则等于
a.2ib.-2ic.2d.-2
2.已知集合≤0}，≤0}，则下列关系中正确的是
3.2023年河南省中小学教师全员进行了远程研修，为了调查中小学
教师的年龄结构，随机抽取调查了100名教师的年龄，得到如图所。
示的频率分布直方图。则年龄在［40，45）岁的教师的人数为。
a.5b.10c.20d.30
4.已知为锐角，，则。
a.-3b.3cd.
5.“”是“对任意的正数x，都有≥1”的。
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件
6.由曲线围成的封闭图形的面积为。
abcd.
7.在等差数列中，前n项和为，且，则的值为
a.2012b.1006c.-1006d.-2012
8.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）后获得身高数据的茎叶图如图甲所示，在这20人中，记身高在［150，160），［160，170），［170，180），［180，190］内的人数依次为，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，则下列说法正确的是
a.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的s的值为18
b.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的s的值为16
c.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的s的值为18
d.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的s的值为16
9.已知函数f(x)=asinx+bcosx(a、b为常数，a≠0,x∈r)在处取得最小值，则函数是
a.偶函数且它的图象关于点对称 b.偶函数且它的图象关于点对称
c.奇函数且它的图象关于点对称 d.奇函数且它的图象关于点对称
10.设变量x,y满足约束条件且目标函数z=ax+y仅在点（2，1）处取得最小值，则实数a的取值范围是
a.(4,5b.(-2,1c.(-1,1d.(-1,2)
11.已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为
a.(-0］ b.［0,1c.(-1d.［0,+∞
12.已知函数y=f(x)是定义在r上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x+x2，若存在正数a,b，使得当x∈［a,b］时，f(x)的值域为［］，则a+b=
a.1bcd.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷里相应题号中的横线上。）
13.在的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率p
14.已知两单位向量的夹角为60°，则向量的夹角为。
15.在送医下乡活动中，某医院安排2名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名，且男医生不安排在同一乡医院工作，则不同的安排方法总数为 。（用数字作答）
16.给出下列等式。
由以上等式推出一个一般结论：
对于。第ⅱ卷（非选择题，共70分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17.（本小题满分10分）已知关于x的不等式。
i）若，求不等式的解集；
ii）若不等式的解集为r，求实数a的取值范围。
18.（本小题满分12分）在△abc中，内角a、b、c的对边分别为a,b,c，，∠bac=，a=4.
i）求bc的最大值及的取值范围；
ii）求函数的最值。
19.（本小题满分12分）从2023年开始，我国就通过实施高校自主招生探索人才选拔制度改革，允许部分高校拿出一定比例的招生名额，选拔那些有特殊才能的学生。某学生参加一个高校的自主招生考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有a、b两个题目，该学生答对a、b两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试。
面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一题即可被录取。（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相对独立的）
i）求该学生被学校录取的概率；
ii）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
20.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为等差数列，又成等比数列。
i）求数列、的通项公式；
ii）求数列的前n项和。
21．（本小题满分12分）已知函数，若存在恒成立，则称的一个“下界函数”.
i）如果函数的一个“下界函数”，求实数t的取值范围；
ii）设函数，试问函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分12分）已知函数。
i）若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
ii）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
ⅲ）求证：。
毕业年级第三次大考数学（理）参***。
1、bcbca aacdb cd
.解：（1）时，不等式为：
当时，不等式化为：，解得x
当时，不等式化为：，无解。
当时，不等式化为： 解得。
综上：不等式的解集为或5分）
2）不等式的解集为r 又。或。
解得或即。实数a的取值范围为10分）
18.解析：（1）由题意知，即， （2分）
又，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为164分）
又，所以，又，所以6分）
2） （9分）
因为，所以10分）
当即时11分）
当即时12分）
19.解析：设该学生答对a、b、甲、乙各题分别为事件a、b、c、d，则p（a）=，p（b）=，p（c）=p（d3分）
1）所求事件的概率为5分）
2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，6分）
7分）8分）
9分）10分）
的分布列为。
12分）20.解析：（1）。
而。数列是以1为首项，3为公比的等比数列。
（4分）在等差数列中，设等数列的公差为、、成等比数列，解得或，舍去，取， （8分）
2）由（1）知，则。
9分）-②，得[
（12分）
21.解析：（1）恒成立，即恒成立。
令由得3分）
当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，6分）
2）由（1）知。
9分）令，则由得。
则当时，在上是减函数，时，在上是增函数。
②中等号取到的条件不同，函数不存在零点。
22.解析：（1），其定义域为，则令，则，当时，；当时，在（0，1）上单调递增，在上单调递减，即当时，函数取得极大值3分）
函数在区间上存在极值，，解得4分）
2）不等式，即。令。6分）
令，则，即在上单调递增7分）
从而，故在上单调递增7分）
8分）3）由（2）知，当时，恒成立，即，令，则9分）
（10分）以上各式相加得，即，即。
12分）
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