2.6 幂函数。
一、选择题。
1．若函数f(x)＝x3(x∈r)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是( )
a．单调递减的偶函数b．单调递减的奇函数。
c．单调递增的偶函数d．单调递增的奇函数。
解析：∵f(x)＝x3(x∈r)，∴y＝f(－x)＝－x3在r上是单调递减的奇函数．
答案：b2. (2009·安徽蚌埠)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如上表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是( )a．c．
解析：由表知＝α，f(x)＝.2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：a3．如果幂函数y＝的图象不过原点，则m的取值是( )
a．－1≤m≤2b．m＝1或m＝2
c．m＝2d．m＝1
解析：形如y＝xα(αr)的函数称为幂函数．
幂函数y＝中的系数m2－3m＋3＝1，∴m＝2或1.
又y＝的图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或1.
答案：b4．(2009·辽宁大连调研)幂函数，当x∈(0，＋∞时为减函数，则实数m的值为( )
a．m＝2 b．m＝－1 c．m＝－1或2 d．m≠
解析：因为为幂函数，所以m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞上为减函数．
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1 (x≠0)在(0，＋∞上为常数函数，应舍去．
m＝2满足题意．故选a.
答案：a二、填空题。
5．设函数f1(x)＝，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1＝f1[f2(x2)]＝f1(x－2)＝＝x－1，∴f1＝2 007－1.
答案：2 007－1
6．(2010·江苏无锡调研)幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是___
解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点，则－＝(2)α，3.
x－3＝27，∴x＝.
答案：7．(2009·江苏)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为___
解析：∵0＜＜1，∴指数函数f(x)＝ax在定义域内为减函数，又f(m)＞f(n)，m＜n.
答案：m＜n
三、解答题。
8．求函数y＝ (m∈n)的定义域、值域，并判断其单调性．
解答：∵m2＋m＋1＝m(m＋1)＋1必为奇数，且m2＋m＋1＝2＋＞0，函数的定义域为r，类比y＝x3的图象可知，所求函数的值域为r，在(－∞上所求函数是单调递增函数．
9．已知f(x)＝ n＝2k，k∈z)的图象在[0，＋∞上单调递增，解不等式f(x2－x)＞f(x＋3)．
解答：由条件知＞0，即－n2＋2n＋3＞0，解得－1＜n＜3.又n＝2k，k∈z，∴n＝0,2.
当n＝0,2时，f(x)＝.f(x)在r上单调递增．∴f(x2－x)＞f(x＋3)转化为x2－x＞x＋3.
解得x＜－1或x＞3.∴原不等式的解集为(－∞1)∪(3，＋∞
10．已知幂函数y＝的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画出该函数的草图．
解答：∵函数图象与x、y轴都无公共点．
n2－2n－3≤0－1≤n≤3.
又∵n为整数，∴n∈．
又图象关于y轴对称，∴n2－2n－3为偶数．
n＝－1,1,3.
当n＝－1和3时，n2－2n－3＝0，y＝x0图象如图(1)所示；
当n＝1时，y＝x－4，图象如图(2)所示．
1．幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点a(1,0)，b(0,1)，连接ab，线段ab恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有bm＝mn＝na.那么，αβ
a．1b．2
c．3d．无法确定。
解析：解法一：由条件得m，n，由一般性，可得＝α，即。所以。
解法二：由解法一，得＝α，则αβ＝a＝，即αβ＝1.
答案：a2．已知函数f(x)＝的定义域是非零实数，且在(－∞0)上是增函数，在(0，＋∞上是减函数，则最小的自然数a等于___
解析：∵f(x)的定义域是，∴1－a<0，即a>1.
又∵f(x)在(－∞0)上是增函数，在(0，＋∞上是减函数，∴1－a＝－2，即a＝3.
答案：3
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