10.9 二项分布与正态分布。
一、选择题。
1．设随机变量ξ服从标准正态分布n(0,1)，已知φ(－1.96)＝0.025，则p(|ξ1.96)等于( )
a．0.025 b．0.050 c．0.950 d．0.975
答案：c2．以φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布n(μ，2)，则概率p(|ξ等于( )
ab．φ(1)－φ1)
cd．2φ(μ答案：b
一个电路如图，a、b、c、d、e、f为6个开关，其闭合的概率都是_，且是互相独立的，则灯亮的概率是( )
ab. cd.
解析：设a与b中至少有一个不闭合的事件为t，e与f至少有一个不闭合的事件为r，则p(t)＝p(r)＝1－×＝所以灯亮的概率p＝1－p(t)p(r)p()p()＝
答案：b4．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
abcd.
解析：三次均为红球的概率为××＝三次均为黄、绿球的概率也为，抽取3次颜色相同的概率为＋＋＝
答案：b二、填空题。
5．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为精确到0.01)
解析：设出现发热反应的人数为ξ：p(ξ＝3)＝c0.
83×0.22＝0.204 8，p(ξ＝4)＝c×0.
84×0.2＝0.409 6，p(ξ＝5)＝c0.
85＝0.327 68，∴p＝0.204 8＋0.
409 6＋0.327 68＝0.942 08≈0.
94.答案：0.94
6．设随机变量ξ服从正态分布n(0,1)，则下列结论正确的是___
1)p(|ξa)＝p(|ξa)＋p(|ξa)(a＞0)
2)p(|ξa)＝2p(ξ＜a)－1(a＞0)
3)p(|ξa)＝1－2p(ξ＜a)(a＞0)
4)p(|ξa)＝1－p(|ξa)(a＞0)
解析：p(|ξa)＝0.
答案：(1)，(2)，(4)．
7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是___写出所有正确结论的序号)．
解析：①③正确．恰好击中目标3次的概率应为c×0.93×0.1.
答案：①③三、解答题。
8．在如右图所示的电路中，开关a，b，c开或关的概率都为，且相互独立，求灯亮的概率．
解答：解法一：设事件a、b、c分别表示开关a，b，c关闭，则a，b同时关闭或c关闭时灯亮，即a·b·，a·b·c，或·b·c，a··c，··c之一发生，又因它们是互斥的，所以，所求概率为：
p＝p(a·b·)＋p(··c)＋p(a·b·c)＋p(··c)＋p(a·b·c)＝p(a)·p(b)·p()＋p()·p(b)·p(c)＋p(a)·p()·p(c)＋p()·p()·p(c)＋p(a)·p(b)·p(c)＝5×()3＝.
解法二：设a，b，c所表示的事件与解法一相同，若灯不亮则两条线路都不通，即c一定断开，a，b中至少有一个断开，而a，b中至少有一个断开的概率是：1－p(·)1－p()·p()＝
所以两条线路皆不通的概率为：p()·1－p(·)
于是，灯亮的概率为p＝1－＝.
9．某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布n(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布n(60,42)
1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？
2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线？
解答：设ξ为行车时间。
1)走第一条路线，及时赶到的概率为。
p(0＜ξ≤702)＝0.977 2.
走第二条路线及时赶到的概率为p(0＜ξ≤70)≈φ2.5)＝0.993 8.
因此在这种情况下应走第二条路线．
2)走第一条路线及时赶到的概率为p(0＜ξ≤65)≈φ1.5)＝0.933 2.
走第二条路线及时赶到的概率为p(0＜ξ≤65)≈φ1.25)＝0.894 4.
因此在这种情况下应走第一条路线．
10．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解答：(1)记“甲连续射击4次至少有一次未击中目标”为事件a1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故p(a1)＝1－p(1)＝1－4＝.
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为。
2)记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件a2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件b2，则p(a2)＝c·2·2＝，p(b2)＝c·3·1＝.
由于甲乙射击相互独立，故p(a2b2)＝p(a2)p(b2)＝×
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为。
3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件a3，“乙第i次射击未击中”为事件di(i＝1,2,3,4,5)，则a3＝d5·d4··，且p(di)＝.
由于各事件相互独立，故。
p(a3)＝p(d5)·p(d4)·p()·p()＝
所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为。
1．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布(100,36)，那么考试成绩在区间(88,112]内的概率是( )
a．0.682 6 b．0.317 4 c．0.954 4 d．0.997 4
解析：由已知x～n(100,36)，故p(88＜x≤112)＝p(＜z≤)＝p(－2＜z≤2)＝2p(z≤2)－1＝0.954 4.
答案：c2．若随机变量x的概率分布密度函数是φμ，x)＝e－，(x∈r)，则e(2x－1
解析：σ＝2，μ＝2，e(2x－1)＝2e(x)－1＝2×(－2)－1＝－5.
答案：－53．a、b是**同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用a，另2只服用b，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用a有效的小白鼠的只数比服用b有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用a有效的概率为，服用b有效的概率为。
1)求一个试验组为甲类组的概率；
2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数．求ξ的分布列和数学期望．
解答：(1)设ai表示事件“一个试验组中，服用a有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2，bi表示事件“一个试验组中，服用b有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.
依题意有p(a1)＝2××＝p(a2)＝×p(b0)＝×p(b1)＝2××＝
所求的概率为p＝p(b0·a1)＋p(b0·a2)＋p(b1·a2)
2)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ～b.
p(ξ＝0)＝3＝，p(ξ＝1)＝c××2＝，p(ξ＝2)＝c×2×＝，p(ξ＝3)＝3＝.
的分布为。数学期望eξ＝3×＝.
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