4.4 正弦定理和余弦定理。
一、选择题。
1．在△abc中，若∠a＝60°，b＝1，s△abc＝，则的值为( )
ab. cd.
解析：∵s△abc＝，即bcsin a＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos a＝13，∴a＝，＝
答案：b2．在△abc中，已知∠b＝45°，c＝2，b＝，则∠a等于( )
a．15b．75° c．105° d．75°或15°
解析：根据正弦定理＝，sin c＝＝＝
c＝60°或c＝120°，因此a＝75°或a＝15°.
答案：d3．在△abc中，设命题p：＝＝命题q：△abc是等边三角形，那么命题p是命题q的( )
a．充分不必要条件b．必要不充分条件。
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
解析：若△abc是等边三角形，则＝＝；若＝＝，又＝＝，则即a＝b＝c.∴p是q的充要条件．
答案：c4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是( )
a．(1,2b．(2c．[3d．(3，＋∞
解析：设△abc三内角为a、b、c，其对边为a、b、c，且a2.
答案：b二、填空题。
5．在△abc中，sin a＋cos a＝，则。
解析：由已知2sin acos a＝－，cos a＜0，即a为钝角，∴(sin a－cos a)2＝，sin a－cos a＝，则sin a＝，cos a＝－.原式＝.
答案：6．在△abc中，∠c＝60°，a，b，c分别为∠a、∠b、∠c的对边，则。
解析：因为∠c＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab，所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(c＋a)，所以＋＝1，故填1.
答案：17．在△abc中，a、b、c分别为∠a、∠b、∠c的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠aabc为___
解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△abc中，由余弦定理得cos a＝＝＝a＝60°.
由b2＝ac，即a＝，代入a2－c2＝ac－bc整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，b＝c.则△abc为正三角形．
答案：60° 正三角形。
三、解答题。
8．(2009·湖南)在△abc中，已知，求角a、b、c的大小．
解答：设△abc三内角a、b、c的对边分别为a，b，c，由，得。
由①cos a＝，又0°＜a＜180°，则a＝30°，根据余弦定理cos a＝，即＝，③
代入③整理得b2－4bc＋c2＝0，则b＝，解得b＝c，或c＝b.
当b＝c时，c＝a，则c＝a＝30°，b＝180°－(a＋c)＝120°；
当c＝b时，b＝a，则b＝a＝30°，c＝180°－(a＋b)＝120°.
综上可知：a＝c＝30°，b＝120°或者a＝b＝30°，c＝120°.
9．已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab＝2，bc＝6，cd＝da＝4，求四边形abcd的面积．
解答：如图，连结bd
则有四边形abcd的面积。
s＝s△abd＋s△bcd＝ab·adsin a＋bc·cdsin c.
a＋c＝180°，∴sin a＝sin c．∴s＝(ab·ad＋bc·cd)sin a
(2×4＋6×4)sin a＝16sin a.
由余弦定理，在△abd中，bd2＝ab2＋ad2－2ab·adcos a
22＋42－2×2×4cos a＝20－16cos a.
在△cdb中，bd2＝cb2＋cd2－2cb·cdcos c＝62＋42－2×6×4cos c＝52－48cos c.
20－16cos a＝52－48cos c，∵cos c＝－cos a，∴64cos a＝－32，cos a＝－，a＝120°，s＝16sin 120°＝8.
10．在△abc中，已知∠b＝60°，最大边与最小边的比为，求△abc的最大角．
解答：解法一：设最大边为a，最小边为c，边a、c所对角为a、c，则＝，由正弦定理＝，即sin a＝sin c.
又sin a＝sin[180°－(b＋c)]＝sin(b＋c)＝sin bcos c＋cos bsin c＝cos c＋sin c，sin c＝cos c＋sin c，即sin c＝cos c．又0°＜c＜180°，∴c＝45°，a＝180°－(b＋c)＝75°.
解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则＝，由＝，则b2＝a2＋c2－ac.
cos c＝＝＝
又0°＜c＜180°，∴c＝45°，则a＝180°－(b＋c)＝75°.
1．在△abc中，角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，a＝2，tan＋tan＝4,2sin bcos c＝sin a，求a，b及b，c.
解答：由tan＋tan＝4得cot＋tan＝4，∴＋4，∴＝4.
sin c＝，又c∈(0，π)c＝，或c＝，由2sin bcos c＝sin a得2sin bcos c＝sin(b＋c)，即sin(b－c)＝0，∴b＝c，b＝c＝，a＝π－b＋c)＝，由正弦定理＝＝得b＝c＝a＝2×＝2.
2．如下图，d是直角△abc斜边bc上一点，ab＝ad，记∠cad＝α，abc＝β.
1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若ac＝dc，求β的值．
解答：(1)证明：∵ab＝ad，则∠adb＝β，c＝β－又∠b＋∠c＝90°，即2β－α90°，则2β＝90°＋αcos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①
2)在△adc中，＝，即sin β＝sin α.
解得sin β＝或sin β＝舍去，又β为锐角，则β＝60°.
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