第五单元数列。
5.1 等差数列及其前n项和。
一、选择题。
1．若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则等于( )
abcd.
解析：d1＝＝，d2＝＝.
答案：c2．为等差数列，a10＝33，a2＝1，sn为数列的前n项和，则s20－2s10等于( )
a．40b．200 c．400 d．20
解析：本题考查等差数列的运算．s20－2s10＝－2×＝10(a20－a10)＝100d，又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4，∴s20－2s10＝400.
答案：c3．等差数列中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
a．160 b．180 c．200 d．220
解析：∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a2＋a3＋a18＋a19＋a20＝3(a1＋a20)＝54，s20＝＝＝180.
答案：b4．在各项均不为零的等差数列中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则s2n－1－4n等于( )
a．－2b．0c．1d．2
解析：由得a－2an＝0，又an≠0，∴an＝2，s2n－1－4n＝2(2n－1)－4n＝－2.
答案：a二、填空题。
5．在数列中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么s100的值等于___
解析：本题考查数列通项公式的应用；据已知当n为奇数时，an＋2－an＝0an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2an＝n，故an＝，故s100＝(1＋1＋…＋2＋4＋6＋…＋100)＝50＋50×＝2 600.
答案：2 600
6．设数列是公差不为零的等差数列，sn是数列的前n项和，且s＝9s2，s4＝4s2，则数列的通项公式为___
解析：设等差数列的公差为d，由sn＝na1＋d及已知条件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)①
4a1＋6d＝4(2a1＋d)②
由②得d＝2a1，代入①有a＝a1，解得a1＝0或a1＝.
当a1＝0时，d＝0，舍去．因此a1＝，d＝.
故数列的通项公式an＝＋(n－1)·＝2n－1)．
答案：an＝(2n－1)
7．一个多边形的周长等于158 cm，所有各边的长成等差数列，最大边长等于44 cm，公差等于3 cm，则多边形的边数等于___
解析：按从小到大的顺序各边的长构成的等差数列记为，根据已知条件sn＝nan－d，即44n－＝158，整理得：3n2－91n＋316＝0，解得：n＝4或n＝26 (舍去)．
答案：4三、解答题。
8．已知数列的前n项和为sn，判断满足下列条件的数列是否是等差数列：
1)sn＝n2；(2)sn＝n2＋n＋1.
解答：(1)当n＝1时，a1＝s1＝1，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，an＝2n－1，(n∈n*)．又an＋1－an＝(2n＋1)－(2n－1)＝2，因此成等差数列．
2)当n＝1时，a1＝s1＝3，当n＝2时，s2＝7，a2＝s2－s1＝4，当n＝3时，s3＝13，a3＝s3－s2＝6，∵a2－a1≠a3－a2.因此数列不是等差数列．
9．已知数列(n∈n*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
1)求数列的通项公式；(2)证明＋＋…1.
解答：(1)设等差数列的公差为d，则有d＝＝1，log2(an－1)＝log2(a1－1)＋n－1＝n.则an＝2n＋1.
2)证明：∵an＝2n＋1，∴an＋1－an＝(2n＋1＋1)－(2n＋1)＝2n.
因此1－＜1.
10. 已知数列的前n项和为sn，an>0，a1＝12，且满足sn＝.试证明为等差数列，并求的通项公式．
证明：当n≥2时，sn＝，①
sn－1＝，②
－②整理得：(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，又an>0，则an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，因此为等差数列，an＝a1＋2(n－1)＝2n＋10.
1．已知△abc内有2 005个点，其中任意三点不共线，把这2 005个点加上△abc的三个顶点是2 008个顶点，组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角形的个数为( )
a．2 004 b．2 009 c．4 011 d．4 013
解析：如图，在△abc内若有1,2,3点，则可组成小三角形的个数分别为3,5,7个，可观察出，若在△abc内有n个点，可组成小三角形的个数记为an，则an＋1－an＝2，因此为首项为a1＝3，公差为d＝2的等差数列，a2 005＝a1＋2 004d＝4 011.
答案：c2．在等差数列中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列的通项kn.
又d≠0，a1＝d，∴an＝a1＋(n－1)d＝nd.又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列．
q＝＝3，akn＝a1＋(kn－1)d＝knd，又akn＝a1·3n＋1＝3n＋1d，∴kn＝3n＋1.
解法二：由已知条件a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，又d≠0，则a1＝d，因此an＝a1＋(n－1)d＝nd，∴akn＝knd.
又成等比数列，则，即＝3，∴成等比数列，kn＝3n＋1.
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