2.9 函数的应用。
一、选择题。
1． 在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家**经过x
年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：设原有荒漠化土地面积为b，由题意可得y＝b(1＋10.4%)x.
答案：d2． 往外埠投寄平信，每封信不超过20 g付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g付邮费 1.
60元，依次类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费( )
a．3.20元 b．2.90元 c．2.80元 d．2.40元。
解析：由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．
答案：a3． 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是。
a．y＝2x－2 b．y＝(x2－1) c．y＝log2x d．y＝()x
解析：由该表提供的信息知，该模拟函数在(0，＋∞应为增函数，故排除d项，将。
x…代入选项a、b、c项易得b项最接近，故答案应选b项．
答案：b4． 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2
(0＜x＜240，x∈n*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时。
(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
a．100台 b．120台 c．150台 d．180台。
解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x≥150.
答案：c二、填空题。
5． 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价。
1 元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为___元．
答案：956． 现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%
以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是。
解析：根据已知条件：设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×
7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
答案：(100,400)
7． 碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期” 是5 730年，即碳14大约每经过5 730年就衰变为原来的一半．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变．经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.
设这群鱼是距探测时t年前死亡的，则t满足的等式为___将t用自然对数的运算式子可以表示为___只写出运算式子不需要计算出结果，式子中可以出现自然对数、实数之间的四则运算)．
解析：p＝()则()＝46.5%.
答案：()0.465 t＝
三、解答题。
8． 某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若**征收附加税，每销售100元要征税p元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少p万件．
(1)将**每年对该商品征收的总税金y(万元)，表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
2)要使**在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？
3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？
解答：(1)由题意，该商品年销售量为(80－p)万件，年销售收入为60(80－p)万元，故所求函数为y＝60(80－p)·p%.由80－p＞0，且p＞0得，定义域为(0,12)．
2)由y≥128，得60(80－p)·p%≥128，化简得p2－12p＋32≤0，(p－4)(p－8)≤0，解得4≤p≤8.故当税率在[4%,8%]内时，**收取税金将不少于128万元．
3)当**收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为g(p)＝60(80－p)(4≤p≤8)．
g(p)为减函数，∴[g(p)]max＝g(4)＝3 200(万元)．
故当税率为4%时，厂家销售金额最大，且国家所收税金又不少于128万元．
9．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解答：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．
2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为。
f(x)＝(100－)(x－150)－×50，整理得f(x)＝－162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050元时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050元．
故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，为307 050元．
10．某单位用木料制作如右图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001 m)时用料最省？
解答：根据已知条件：xy＋x2＝8，即y＝＝－0＜x＜4)，框架用料长度为l＝2x＋2y＋x＝(＋x＋≥8＋4，当且仅当(＋)x＝，即x＝8－4时，等号成立，此时x≈2.
343，y＝2≈2.828.
故当x约为2.343 m，y约为2.828 m时，用料最省．
1．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场**，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资**等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
解答：(1)f(x)＝k1x，g(x)＝k2，f(1)＝＝k1，g(1)＝k2＝，f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝ x≥0)．
2)设：投资债券类产品x万元，则**类投资为(20－x)万元，y＝f(x)＋g(20－x)＝＋0≤x≤20)
令t＝，则y＝＋t＝－(t2－4t－20)＝－t－2)2＋3.
所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，ymax＝3万元．
2．2023年广州亚运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的**销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售**在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售**为x元(x∈n*)．
1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售**x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；
2)当每枚纪念销售**x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值．
解答：(1)依题意。y＝y＝
此函数的定义域为{x|7(2)y＝
当7当20综上可得，当x＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．
2023年《创新设计》
4.4 正弦定理和余弦定理。一 选择题。1 在 abc中，若 a 60 b 1，s abc 则的值为 ab.cd.解析 s abc 即bcsin a c 4.由余弦定理a2 b2 c2 2bccos a 13，a 答案 b2 在 abc中，已知 b 45 c 2，b 则 a等于 a 15b 75 c...
2023年《创新设计》
第五单元数列。5.1 等差数列及其前n项和。一 选择题。1 若x y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则等于 abcd.解析 d1 d2 答案 c2 为等差数列，a10 33，a2 1，sn为数列的前n项和，则s20 2s10等于 a 40b 200 ...
2023年《创新设计》
10.9 二项分布与正态分布。一 选择题。1 设随机变量 服从标准正态分布n 0,1 已知 1.96 0.025，则p 1.96 等于 a 0.025 b 0.050 c 0.950 d 0.975 答案 c2 以 x 表示标准正态总体在区间 x 内取值的概率，若随机变量 服从正态分布n 2 则概率...