算法的数值稳定性。
计算积分。解：由：,可得两个递推算法。
算法1：； 算法2：.
当仅考虑初始值有误差时，对于算法1，由：，可知误差满足：，因此算法1是不稳定的。
对于算法2，同理可知误差满足：，所以，因此算法2是稳定的。
高斯消去法——示例。
考虑如下线性方程组：
从上述方程组的第三个方程依此求解，得。
高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法。
在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为。
高斯消去法的消元过程，从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵ａ，且乘积的结果为上三角矩阵，即。
用于度量“量”的大小的概念。
例１．３上常用的向量范数：
—范数—范数：；
、—范数：；
例１．５常用的矩阵范数：
范数（列范数范数（谱范数）：；
、—范数（行范数）：；
迭代法求解线性方程组的基本思想是。
1） 不追求“一下子”得到方程组的解，而是在逐步逼近方程组的精确解的迭代过程中获得满足精度要求的近似解，这一点与直接法不同；
2） 通过对问题的转化，避免（困难的）矩阵求逆运算。
例1 解下面方程组（精确解为）.
解 1） 改写成等价形式，（2）构造迭代公式，即为雅可比迭代公式。
3） 取初始向量，即代入上式，求出。
再代回公式中，求出。
、jacobian 迭代法：
2、gauss-seidel 迭代法：
根据gs迭代法（9），可进一步得到。即。
式（11）表明：gauss-seidel 迭代法在计算第个迭代值时，及时地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：，，由于第步的迭代值通常比第步的迭代值更接近方程组的精确解，所以，在jacobian迭代法和gauss-seidel迭代法都收敛的情况下，gauss-seidel迭代法的收敛速度比jacobian迭代法的收敛速度快。
例2 解下面方程组（与例1相同，精确解为）.
解 1） 原方程组改为等价方程组。
2） 构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式。
3） 取初始向量，即代入上式，求出。
拉格郎日插值法。
一、线性插值(linear interpolation)
当时，插值问题的几何意义为：过两个已知点，求直线方程（即一次多项式）.
点斜式直线方程：.
两点对称式直线方程：.
由两点式可知，是由两个线性函数。
的线性组合得到。这两个线性函数称为插值基函数，其性质为：
二、抛物插值(quadratic interpolation)
当时，插值问题的几何意义为：过已知的三个点求抛物线（即二次多项式）.为了求出的表达式，可采用基函数方法，此时基函数、及是二次函数，且在节点上满足条件：
满足条件（5.5）的插值基函数很容易求出，例如求，因为它有两个零点及，故可表示为，其中待定，可由条件确定。
于是，.同理可求得及。因此，得抛物插值。
5.2.2 n次拉格朗日插值。
用插值基函数表示的一次与二次插值很容易推广到一般情形。下面讨论如何构造通过个节点的次插值多项式。设所求多项式为。
其中是次数不超过的待定多项式（插值基函数）.
要满足插值条件，即，从而插值基函数满足条件：
满足条件（5.6）的插值基函数很容易求出，例如求。因为是次多项式的个零点，可设。
又由，得到。
因此，当时，.次lagrange插值多项式为。
例1 已知的函数值见表5-2，求的近似值。
解 1） 用线性插值计算，因为在之间，故取两点，，则有线性插值。
所以。2） 用过三点的抛物插值计算，有。
所以。2 牛顿插值公式。
问题的引入：lagrange插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，然而，这种构造插值多项式的方法，有时显得不够灵活，如节点的个数变化时，均需要重新构造多项式。
设所求多项式为。
根据个插值条件=来确定系数。
令，就有。再令时，，有。
令时，，有。
一般地，令时，，有。
可得，.对取值，则得到的各系数。插值多项式为。
对于例1，用牛顿插值公式重新计算的近似值。
解 1） 首先构造差商表如下。
表5-5 差商表。
由表可得牛顿插值公式中各系数依次为。
2） 用线性插值计算，求得的近似值为。
用抛物插值计算，求得的近似值为。
所得结果与例1相同。
比较例1与例5的计算过程可以看出，与lagrange插值相比较，牛顿插值在计算上的优点是明显的。
函数逼近。本章讨论的函数逼近的基本问题为：从指定的函数类中求一个函数，使它在某种意义下“最接近于”某个给定的函数。
即，设为上的连续函数，求一个近似函数（多项式），使在上误差在某种度量意义下最小。
离散数据的最小二乘法（即离散情形的最佳平方逼近）.设已知的实验数据。
寻求次数的多项式，使误差（或带权误差）的平方和达到最小，即。
或。此时称为实验数据的最小二乘逼近函数，或称为实验数据的最小二乘拟合多项式，或称为的经验公式。
如果取基函数，称最小二乘拟合问题为多项式拟合。取权重的常用拟合多项式有。
1） 直线拟合（）：此时，，一次拟合曲线为，其中满足法方程。
2） 二次拟合（）.这里取，二次拟合曲线为，求的法方程为。
例8 某实验测得数据如下，求数据表的最小二乘拟合函数。
解首先描点作图，见图6-7，从图形看出，这些点分布在一条抛物线附近，因此选取为拟合多项式。由拟合数据计算得到。
列出法方程。
解得，因此得到最小二乘拟合曲线（图6-7）
平方误差为。
图6-7 最小二乘拟合图形（左图为实验数据，右图为二次拟合）
例9 求一形如的经验公式，使它与下面数据拟合。
解很多非线性函数的拟合，都可以通过适当的变换，转化为多项式拟合问题。对于本例题，对两边取对数，得到，其中经计算得。
因此法方程为。
解得，所以，，所求最小二乘拟合的经验公式为。
平方误差为。
数值积分。当时（有两个等距求积节点），，相应的求积公式就是梯形公式(trapzoidal rule)
当时（有三个等距求积节点），，相应的求积公式就是辛普森公式(simpson’s rule)
例1 计算积分，并估计误差。
解 1） 用梯形公式计算，2） 用辛普森公式计算，复化梯形公式。
在每个子区间上利用梯形公式，则。
从而。复化辛普森公式。
在上利用辛普森公式，则。
其中，是区间的中点。从而。
例2 计算积分。
解 1） 将积分区间[0，1]八等分，分点及分点处的函数值见表7-3，用复化梯形公式计算，得。
表7-3 例2数据。
2） 将积分区间[0，1]四等分，用复化辛普森公式计算，得。
两种复化方法都用到表7-3中九个点上的函数值，它们的计算工作量基本上相同，但所得结果与积分真值相比较，复化辛普森所得近似值远比复化梯形所得近似值要精确。因此，在实际计算时，较多地应用复化辛普森公式。
定义1】 如果某求积公式对于次数小于等于的多项式能准确求出积分值，而对某个次多项式就不能准确求出积分，则称该求积公式具有次代数精度。
4.确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
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