考点51 坐标系与参数方程。
一、选择题。
1．（2011·安徽高考理科·ｔ5）在极坐标系中，点（2，）到圆的圆心的距离为。
a）2bcd)
思路点拨】将极坐标系转化为直角坐标系，在直角坐标系中求点到圆心的距离。
精讲精析】选d.由及得，则所以，即圆心坐标为（1,0），而点（2，）在直角坐标系中的坐标为（1，），所以两点间的距离为。
2．（2011·北京高考理科·t3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）
a） （b） （c） （d）
思路点拨】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心后，再转换为极坐标。
精讲精析】选b.圆的方程可化为由得，即，圆心，化为极坐标为。
二、填空题。
3．（2011·湖南高考理科·t9）在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为。
在极坐标系（与直角坐标系xoy有相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为的交点个数为___
思路点拨】本题主要考查参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标方程。
精讲精析】答案：2.由得到圆的方程，由。
得到直线方程x-y+1=0，因为圆心在直线上，所以直线和圆有两个交点。
4．（2011·湖南高考文科t9）在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为。
的交点个数为___
思路点拨】本题主要考查参数方程和极坐标方程转化为平面直角坐标方程。
精讲精析】答案：2.由得到圆的方程，由。
得到直线方程x-y+1=0，因为圆心在直线上，所以直线和圆有两个交点。
5.（2011·江西高考理科·ｔ15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为。
思路点拨】先根据求出，再将=，代入即得。
精讲精析】答案】
6．（2011·陕西高考理科·t15c）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点a，b分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为。
思路点拨】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
精讲精析】答案：3
曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．
7．（2011·陕西高考文科·t15c）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点a，b分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．
思路点拨】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
精讲精析】答案：1
曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．
8.（2011.天津高考理科。t11）.已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的。
直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则。
思路点拨】化抛物线为普通方程，求出焦点，写出直线方程，求圆心到直线的距离即可。
精讲精析】答案：
9.（2011·广东高考理科·ｔ14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为。
思路点拨】将两曲线的参数方程化为普通方程，然后通过解方程组求得交点坐标。
精讲精析】答案：
分别将两曲线的参数方程化为普通方程得与，联立得，解得（舍去），，得。
三、解答题。
10．（2011·福建高考理科·ｔ21）（2）在直角坐标系xoy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线c的参数方程为。
i）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点p的极坐标为（4，），判断点p与直线l位置关系；
ii）设点q是曲线c上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值。
思路点拨】（i）将点p的极坐标化为直角坐标，然后代入直线的方程看是否满足，从而判断点p与直线的位置关系；
ii）将点q到直线的距离转化为关于的三角函数式，然后利用三角函数的知识求最小值。
精讲精析】）把极坐标系下的点化为直角坐标得点。
因为点的直角坐标满足直线的方程，所以点在直线上。
）因为点q在曲线c上，故可设点q的坐标为，从而点q到直线的距离为。
由此得，当时，取得最小值，且最小值为。
11.（2011·江苏高考·ｔ21c）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
思路点拨】本题考察的是参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。解决本题的关键是掌握参数方程与普通方程的互化原则与技巧。
精讲精析】椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：
12.（2011·新课标全国高考理科·ｔ23）在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为（为参数）m是c1上的动点，p点满足，p点的轨迹为曲线c2
ⅰ)求c2的方程。
ⅱ)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与c1的异于极点的交点为a，与c2的异于极点的交点为b，求。
思路点拨】第（１）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；
第（2）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求＝即可。
精讲精析】（i）设p(x,y),则由条件知m().由于m点在c1上，所以。
即 从而的参数方程为。
为参数）ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。
所以。13.（2011·新课标全国高考文科·ｔ23）在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为。
为参数）m是c1上的动点，p点满足，p点的轨迹为曲线c2
ⅰ)求c2的方程。
ⅱ)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与c1的异于极点的交点为a，与c2的异于极点的交点为b，求。
思路点拨】第（１）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；
第（2）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求＝即可。
精讲精析】（i）设p(x,y),则由条件知m().由于m点在c1上，所以。
即 从而的参数方程为。
为参数）ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。
所以。14.（2011·辽宁高考理科·ｔ23）（本小题满分10分）（选修4-4：
坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为，曲线c2的参数方程为。在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与c1，c2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合．
i）分别说明c1，c2是什么曲线，并求出a与b的值；
ii）设当=时，l与c1，c2的交点分别为a1，b1，当a=-时，l与c1，c2的交点为a2，b2，求四边形a1a2b2b1的面积．
思路点拨】(ⅰ先求坐标，利用条件求与的值；(ii)先写出，的普通方程，再依次求出a1、a2、b2、b1的横坐标，最后求等腰梯形a1a2b2b1的面积．
精讲精析】(ⅰ是圆，是椭圆。
当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，且，所以。
当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点重合，所以。
ⅱ），的普通方程分别为和。
当时，射线与交点的横坐标为，与交点的横坐标为。
当时，射线与，的两个交点分别与，关于轴对称，因此四边形为等腰梯形。
故四边形的面积为。
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