考点6 功和能
一、选择题。
1.（2011·新课标全国卷·t15）一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能。
a. 一直增大。
b. 先逐渐减小至零，再逐渐增大。
c. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小。
d. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大。
思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
考虑恒力方向与速度方向相同或相反来判定a、b选项，再考虑恒力方向与速度方向成小于90°或大于90°的夹角来判定c、d选项，并注意物体速度方向与恒力方向的夹角变化。
精讲精析】选a、b、 d。当恒力方向与速度方向相同时，物体加速，动能一直增大，故a正确。当恒力方向与速度方向相反时，物体开始减速至零，再反向加速，动能先减小至零再增大，故b正确。
当恒力与速度成小于90°夹角时，把速度沿恒力方向和垂直恒力方向分解，物体做曲线运动，速度一直增大，故c错。当恒力与速度成大于90°的夹角时，把速度沿恒力方向和垂直恒力方向分解，开始在与恒力相反方向上物体做减速运动直至速度为0，而在垂直恒力方向上物体速度不变，某一时刻物体速度最小，此后，物体在恒力作用下速度增加，其动能经历一个先减小到某一数值，再逐渐增大的过程，故d正确。
2.（2011·山东高考·t18）.如图所示，将小球从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球从距地面处由静止释放，两球恰在处相遇（不计空气阻力）。则。
a.两球同时落地
b.相遇时两球速度大小相等
c.从开始运动到相遇，球动能的减少量等于球动能的增加量
d.相遇后的任意时刻，重力对球做功功率和对球做功功率相等。
思路点拨】本题是对匀变速直线运动和动能定理、功率知识的综合考察，应分析两个小球的具体运动过程，明晰a和b在相遇时的速度、位移、时间之间的关系，然后归纳分析。
精讲精析】选c。相遇时b球的位移，相遇时a球，可得，相遇时a球的速度0，由题意可得此时b球已经具有向下的速度而a球的速度为零，故b球以较大速度先落地，以后任意时刻重力的瞬时功率，b球的瞬时功率总是大于a球的瞬时功率。选项a、b、d错误。
从开始运动到相遇，a球克服重力所做的功等于重力对b球所做的功，由动能定理可得c项正确。
3.（2011·江苏物理·t4）如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于（ ）
a．0.3j
b．3j c．30j
d．300j
思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
精讲精析】选a。估计一只鸡蛋的重力为60克，鸡蛋上升的高度为50厘米，对人抛鸡蛋以及鸡蛋上升到最高点全程应用动能定理有：，带入数值可知，a对。
4.（2011·新课标全国卷·t16）一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是。
a. 运动员到达最低点前重力势能始终减小。
b. 蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加。
c. 蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒。
d. 蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关。
思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
考虑重力、弹性力做功与对应势能变化的关系，注意机械能守恒的条件及重力势能的相对性和重力势能改变的绝对性。
精讲精析】选a、b、c。运动员在下落过程中，重力做正功，重力势能减小，故a正确。蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力向上，位移向下，弹性力做负功，弹性势能增加，故b正确。
选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故c正确。重力势能改变的表达式为ep=mgh，由于h是绝对的，与选取的重力势能零点无关，故d错。
5.（2011·海南物理·t9）一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2n的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1n的外力作用。下列判断正确的是（ ）
a. 0～2s内外力的平均功率是w
b.第2秒内外力所做的功是j
c.第2秒末外力的瞬时功率最大。
d.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是。
思路点拨】解答本题可按以下思路分析：
精讲精析】选a、d。第1秒内的加速度m/s，1秒末的速度(m/s)；第2秒内的加速度m/s2,第2秒末的速度(m/s)；所以第2秒内外力做的功j，故b错误；第１秒末的瞬时功率。第２秒末的瞬时功率，故ｃ错误。
0～2s内外力的平均功率w，故a正确；第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值，故d正确。
二、非选择题。
6.（2011·安徽高考·t24）如图所示，质量m=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长l=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴o连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕o轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度=4 m/s，g取10。
1）若锁定滑块，试求小球通过最高点p时对轻杆的作用力大小和方向。
2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
思路点拨】（1）锁定滑块，小球做圆周运动，运动过程中机械能守恒。（2）解除锁定，两者都运动，分析滑块和小球组成的系统，应用两个守恒定律。（3）求两者运动距离关系，类似于人船模型，平均动量守恒。
精解精析】设小球能通过最高点，且此时的速度为v1，在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒，则
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为f，方向向下，则小球受到的拉力和重力提供做圆周运动的向心力，有。
由式，得。由牛顿第三定律知，小球对轻杆的作用力大小为2n，方向竖直向上。
2）若解除锁定，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为v 。小球和滑块起始状态沿水平方向初速度均为零，在上升过程中，因系统在水平方向不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右方向为正方向，有
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
由式得。3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始位置点间的距离为s1,滑块向左移动的距离为s2。任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为v′。
由系统水平方向的动量守恒，得将式两边同乘以，得 ，因式对任意时刻附近的微小间隔都成立，累积相加后，有 ，又 ,由式，得m
答案：（1）2n，方向竖直向上 （2） （3）m
7.（2011·北京高考·t22）如图所示，长度为的轻绳上端固定在o点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。
1）在水平拉力f的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止。画出此时小球的受力图，并求力f的大小；
2）由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点。
时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气阻力。
思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：⑴静止时满足平衡条件。⑵过最低点时的速度可用机械能守恒定律求出。⑶当小球通过最低点时轻绳对小球的拉力可根据向心力公式求出。
精讲精析】小球受力图如图所示，根据平衡条件。
所以拉力大小。
只有重力做功，机械能守恒。
通过最低点时速度大小。
根据牛顿第二定律。
解得通过最低点时轻绳的拉力。
方向竖直向上。
答案：⑴图见解析方向竖直向上。
8.（2011·天津理综·t10）如图所示，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为r，mn为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球a以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点m时与静止于该处的质量与a相同的小球b发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距n为2r，重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；
2）小球a冲进轨道时速度v的大小。
思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：分三个运动过程分析，小球a在半圆形轨道内的运动过程满足机械能守恒；小球a与小球b在m点的碰撞过程遵从动量守恒；小球a和小球b粘在一起的平抛运动过程。
精讲精析】⑴粘合后的小球a和小球b，飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有
解得： 设小球a的质量为m，碰撞前速度大小为，把小球a冲进轨道最低点处的重力势能定为0，由机械能守恒定律知：
设碰撞后粘在一起的两球的速度为，由动量守恒定律知：
飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有。
3分）联立解得：
答案：⑴ 9.（2011·浙江理综·t24）节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力**的汽车。
有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1=90km/h匀速行驶，发动机的输出功率为p=50kw。当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动=72m后，速度变为v2=72km/h。此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50% 转化为电池的电能。
假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变。求：
1）轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力f阻的大小；
2）轿车从90km/h减速到72km/h过程中，获得的电能e电；
3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能e电维持72km/h匀速运动的距离。
思路点拨】求解过程中，注意以下规律的应用：（1）。(2)动能定理。（3）能量转化和守恒定律。
精讲精析】（1）汽车牵引力与输出功率关系式为。
将p=50kw, v1=90 km/h=25 m/s代入得。
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有。
2）在减速过程中，发动机只有用于汽车的牵引。根据动能定理。
代入数据得。
电源获得的电能为。
3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为。在此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功。
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