2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷。
高三数学2018.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集，集合，则。
2．在的二项展开式中，常数项是。
3．函数的定义域为。
4．已知抛物线的准线方程是，则。
5．若一个球的体积为，则该球的表面积为。
6．已知实数满足则目标函数的最小值为。
7．函数的最小正周期是。
8．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于。
9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是。
10．已知直线。当在实数范围内变化时，与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是。
11．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是。
12．已知向量满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．在四边形中，，且·＝0，则四边形是。
a）菱形b）矩形c）直角梯形 （d）等腰梯形。
14. 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，()则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于。
（a）第一象限． （b）第二象限． （c）第三象限． （d）第四象限．
15．在中，“”是“”的。
（a） 充分非必要条件 （b）必要非充分条件。
c） 充要条件d）既不充分也不必要条件。
16．如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为。
a）10 （b）8 （c） （d）12
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图在长方体中，，，点为的中点，点为的中点．
1）求长方体的体积；
2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．
1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知函数，其定义域为，(1) 当时，求函数的反函数；
(2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是。
1)求的值；
2)若直线过点，求证：；
3)设直线与轴的交点为 (为常数且)，试**直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．
1)求数列和的通项公式；
2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；
3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出 (用表示)；若不存在，请说明理由．
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