离散18周考试大家注意复习。
离散结构》复习辅导。
第一篇数理逻辑。
第1章命题逻辑。
一、基本要求。
1. 理解命题概念，会判断语句是不是命题。
2. 了解五个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：
1)p(否定式)；
(2)p∧q(合取式)；
3)p∨q(析取式)；
4)p→q(蕴含式)；
5)pq(等价式)。
熟练掌握求给定公式真值表的方法。
3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。
熟记基本等值式，掌握用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值变换的方法。
4. 理解析取(合取)范式概念，熟练掌握利用基本等值式或真值表将公式化为析取(合取)范式的方法。
5. 了解极小(大)项的概念，掌握求主析取(合取)范式的方法。
6. 了解有效结论(逻辑结果)的概念，掌握判断重言蕴含式(推理是否有效)的五种方法
(1) 真值表法；
2) 等值演算法(记住基本等值式)；
3) 主析取(合取)范式法；
4) 直接证法：掌握p规则和t规则，及常用重言蕴含式、等值式。
(5) 间接证法(反证法)：掌握cp规则。
二、复习辅导。
1.1 命题与联结词。
命题是推理的基本要素。命题是具有确定真假意义的陈述句。用1或t表示真命题。
用0或f表示假命题。判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。再判断它是否有唯一的真值。
可见命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。
由若干个原子命题通过联结词构成的命题就是复合命题。
我们讲了五个联结词。
1. ﹃否定联结词，p是命题，﹃p是p的否命题。
p与﹃p的真假是相互对立的，p为真，则﹃p为假；反之p为假，则﹃p为真。
2. ∧合取联结词，p，q是命题，p∧q是p，q的合取式。
p∧q取值1，当且仅当p，q均取1；p q取值为0，只要p，q之一取0。
3. ∨析取联结词， p，q是命题，p∨q是p，q的析取式。∨在一个语句中表示“或”的含义，可以表示相容或，也可以表示排斥或。
如“赵志宏学习俄语或英语”，是相容或，记p：“赵志宏学习俄语”，q：“赵志宏学习英语”，命题符号化为“p∨q”；
又如“李宏生于2023年或2023年”，是排斥或，不可兼或，记p：“李宏生于2023年”，q：“李宏生于2023年”，命题符号化为p∨q。
p∨q取值为1，只要p，q之一取值为1，只有p，q均取值为0时，p∨q取值为0。
4. →蕴含联结词，p，q是命题，p→q是p，q的蕴含式，是联结词→和命题p，q组成的复合命题。
p→q取值为0，只有p取值为1，q取值为0时；其余各种情况，均有p→q取值为1。
注意：在语句中，p q，有时也解释为“若p，则q”。似乎p→q是“因果关系”，但是不一定总有因果关系。
只要p，q是命题(即有真值)，那么p→q就是命题(即有真值)。不管p，q是否有无因果关系。
例如，p：今晚开会，q：今晚我到校。
有p→q，如果今晚开会，我今晚到校(有因果关系)。它的真值是1。
又如，a：雪是白的，b：太阳从西边出来。
有a→b，如果雪是白的，太阳从西边出来(没有因果关系)，它的真值是0。
5. 等价联结词，p，q是命题，pq是p，q的等价式，是联结词和命题p，q组成的复合命题。“”在语句中相当于“…当且仅当…”，pq取值1当且仅当p，q取值相同。
1.2 命题公式、永真性的判定或命题公式的分类
命题公式的永真性包括判定命题公式是永真的(重言式)、永假的(矛盾式)。具体判定方法有两种：
其一是真值表法，对于任给一个公式，列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1(或全为0)，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全为1，又非全为0，则该公式是可满足式。
例1 判定公式p→q与p∨q是否等值。
解列公式p→q与p∨q的真值表。如表1－1。
表1－1 公式p→q与p∨q的真值表。
由表可知，公式p→q与p∨q是等值的。
由表的最后一列均为1可知，p→q与p∨q是重言式。
其二是推导法。利用基本等值式(双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、同一律、零律、否定律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位和等价否定等值式等)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式。
例2 证明：p→(q→r)p∧q→r..
证明 p→（q→r）
p→(≈q∨r) (等值蕴含式)
p∨(q∨r) (等值蕴含式)
p∨q）∨r (结合律)
p∧q)∨r (德摩根律)
p∧q→r (等值蕴含式)
所以，p→（q→r）(p∧q)→r
例中等值演算的每一步都用到了置换规则。由等值演算的传递性，可知第一个公式p→(q→r)和最后一个公式p∧q)→r等值。
例中证明的每一步都列出了等值演算的依据。
1.3 范式。
在范式中只有联结词∧和∨，命题变项或其否定用联结词∨，∧把联结起来。主范式要求命题变项齐全，按极小(大)项排列起来。
求析取(合取)范式的步骤：
将公式中的联结词都化成，∧，在析取(合取)范式中不能有联结词→，；
将否定联结词消去或移到各命题变项之前；
利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式。
求命题公式a的主析取(合取)范式的步骤。
求公式a的析取(合取)范式；
“消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如p∧p(p∨p)用0(1)替代。用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如p∧p(p∨p)用p替代，mi∨mi(mi∧mi)用mi(mi)替代。
若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)b不含有命题变项pi或pi，则添加pi∨pi(pi∧pi)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；
将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏表示。
例3 求公式的主合取范式和主析取范式。
解先将公式化为合取范式。
(去掉) (去掉→) 合取范式)
(添齐命题变项)
所求主析取范式应为主合取范式五个极大项所对应的三个极小项，即为。
通过求析取范式求主析取范式。
(去掉) (去掉→) 合取范式)
m1∨m6∨m7
1.4 命题演算的推理理论。
掌握演绎或形式证明，进行逻辑推理时一是要理解并掌握14个重言蕴含式(即i1～i14)，17个等值式(e1～e17)；二是会使用三个规则(p规则、t规则和cp规则)。
p规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。
t规则：在推导过程中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵着公式 s，则公式 s 可以引入推导之中。
cp规则：若从 a 和 b 能有效地推出 c，则从 a 可有效地推出 b c。
要多做一些练习，重言蕴含式和等值式要靠练习加以记忆，而不能靠死记。
例4 试证明：
证明 (1) s cp规则。
（2）s (1)双重否定律
(3) s∨p p
(4) p∨s (3)置换。
(5) p (4),(2)析取三段论。
(6) p→(q→rp
7)q→r (6),(5)假言推理。
8)q p9)r (7),(8)假言推理。
三、练习。1 设命题公式g＝p∧(q∨r)则使g取真值为1的指派是 ，
答案：(1,0,0,),1,0,1),(1,1,1)
2 已知命题公式为g＝(p∧q)→r， 则命题公式g的析取范式是
答案：p∨q∨r
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