第二章数学思想方法专题。
第4讲． 化归思想。
【专题精讲】
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．
本专题专门复习化归思想．化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．
如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．
实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等。
【典例精析】
一）化归到方程（不等式）模型或函数模型。
例1、某高速公路收费站，有辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需要20分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则需8分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？
例2、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子，另一块是上底为30，下底为120高为60的直角梯形板子（如图），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形所围成的区域（如图），由于受材料纹理的限制，要求裁处的矩形要以点b为一个顶点。
1）利用图（2）求出矩形顶点b所对的顶点到bc边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
2）若想裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
例3、一园林设计师要使用长度为4的材料建造如图（1）所示的花圃。该花辅是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图（2）所示。它是以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大。
1）求使图（1）花圃面积为最大时的值及此时花圃面积，其中分别为大圆和小圆的半径。
2）若，求使图（2）面积为最大时值。
例4、某果品公司急需将一批不易存放的水果从a市运到b市销售，现有甲、乙两家运输公司提供各自的服务及收费的数据如下：
并且，这批水果在包装与卸装以及运输过程中的损耗为300元/，如果a，b两地距离，欲使果品公司支付的总费用（包装与卸装费、运输费、以及损耗费三项之和）最小，应如何选择运输公司？
二）化归到“几何计算”模型。
例5、如图（1），某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为60°，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为45°，已知米，山坡坡度为，且点，点在同一条直线上，求电视塔的高度以及此人所在位置点的铅直高度。（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）。
三）化归到“基本图形”模型。
例6、如图，梯形 abcd中，ad∥bc，ab=cd，对角线ac、bd相交于o点，且ac⊥bd，ad=3,bc=5，求ac的长．
分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．
巩固演练】【巩固演练】中考试题选做6题。
1.已知点在同一条直线上，则m
2. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则< x >＝n．如：
< 0 >＝0.48 >＝0，< 0.64 >＝1.
493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝4.12 >＝4，…
试解决下列问题：
1）填空：①<为圆周率）；
如果< 2x－1>＝3，则实数x的取值范围为。
2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：< x＋m >＝m＋< x >
举例说明< x＋y >＝x >＋y >不恒成立；
3）求满足< x >＝x的所有非负实数x的值；
4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x 2－x＋的自变量x在n≤x＜n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足< >n的所有整数k的个数记为b．求证：a＝b＝2n．
3、已知二次函数的图象经过点a（－3，6）并且与x轴相交于点b（－1，0）和点c，顶点为p（如图）
1）求二次函数的解析式；
2）设d为线段oc上一点，满足∠dpc＝∠bac，求点d的坐标。
4、如图1，射线am∥射线bn，∠a＝∠b＝90°，点d、c分别在am、bn上运动（点d与点a不重合，点c与点b不重合），e是ab上的动点（点e与a、b不重合），在运动过程中始终保持de⊥ce，且ad＋de＝ab＝a．
1）当点e为ab边的中点时（如图2），求证：①ad＋bc＝cd；
de、ce分别平分∠adc、∠bcd；
2）设ae＝m，请**：△bec的周长是否与m值有关？若有关，请用含m的代数式表示△bec的周长；若无关，请说明理由．
5、如图①，正方形abcd中，e为cd的中点，f为ad边上一点（不与点d重合），且∠bfe＝∠fbc．
1）求tan∠afb的值；
2）若将“e为cd的中点”改为“ce＝k·de”，其它条件不变（如图②），求tan∠afb的值（用含k的代数式表示）．
6、如图，梯形abcd中，ab∥cd，∠abc=90°，ab=8，cd=6，bc = 4，ab边上有一动点p(不与a、b重合)，连结dp，作pq⊥dp，使得pq交射线bc于点e，设ap=x．
当x为何值时，△apd是等腰三角形？
若设be=y，求y关于x的函数关系式；
若bc的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点p，使得pq经过点c？若存在，求出相应的ap的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当bc的长在什么范围内时，可以存在这样的点p，使得pq经过点c．
4）若bc的长可以变化且把条件“pq⊥dp”改成“∠dpq=∠a”，当pq恰好经过点c时，求ap的长？
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