第11讲．动点问题。
【专题精讲】
动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量x、y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。
典例精析】图形引入动点后形成的函数和方程问题。
例1、如图2-4-49，在梯形abcd中，ab=bc=10㎝，cd=6㎝，∠c=∠d=900．
1）如图2-4-50，动点p、q同时以每秒1㎝的速度从点b出发，点p沿ba、ad、dc运动到点c停止．设p、q同时从点b出发秒时，△pbq的面积为（㎝2），求（㎝2）关于（秒）的函数关系式．
2）如图2-4-51，动点p以每秒1㎝的速度从点b出发沿ba运动，点e**段cd上随之运动，且pc=pe．设点p从点b出发秒时，四边形pade的面积为（㎝2）．求（㎝2）关于（秒）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
一）图形引入动点形成的函数问题。
例2、如图（1），已知直角梯形中，动点p沿a—d—c的路线以秒的速度向c运动，动点q沿a—b—c的路线以秒的速度向c运动，p，q两点分别从a，b同时出发，当其中一点到达c点时，另一点也随之停止。设运动时间为秒，的面积为。
1）求ad的长及的取值范围；
2）求关于的函数关系式，并具体描述在p，q运动过程中，的面积随变化而增大或减小的情况。
二）图形引入动点形成的方程问题。
图形动点几何计算方程。
例3、如图，在中，，动点p从点a出发沿ac边向点c以每秒3个单位长的速度运动，动点q从点c出发沿cb边向点b以每秒4个单位长的速度运动。p，q分别从点a，c同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中，关于直线pq对称的图形是。
设运动时间为（秒）。
1）为何值时，四边形是梯形？
2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
三）图形引入动点形成的函数和方程问题。
例4、已知，如图（1），正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边ab，cd，da上，连结cf。
1）当时，求的面积；
2）设，用含的代数式表示的面积；
3）判断的面积能否等于1，并说明理由。
例5、如图，在等腰梯形中，。点p从点b出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点c匀速度运动；动点q从点c出发沿线段。
cb方向以每秒3个单位长度匀速运动，过点q向上作射线，交折线线段cd—da —ab于点e，点p，q同时开始运动，当点p与点c重合时停止运动，点q随之停止。设点p，q运动的时间是秒（。
1）当点p到达终点c时，求的值，并指出此时bq的长；
2）当点p运动到ad上时，为何值能使？
3）设射线qk扫过梯形的面积为s，分别求出点e运动到cd，da上时，s与的函数关系式；（不必写出的取值范围）。
4）能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围，若不能，请说明理由。
【巩固演练】
1、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝－x 2＋x＋m 2－3m＋2与x轴的交点分别为原点o和点a，点b（2，n）在这条抛物线上．
1）求点b的坐标；
2）点p**段oa上，从o点出发向a点运动，过p点作x轴的垂线，与直线ob交于点e，延长pe到点d，使得ed＝pe，以pd为斜边，在pd右侧作等腰直角三角形pcd（当p点运动时，c点、d点也随之运动）．
当等腰直角三角形pcd的顶点c落在此抛物线上时，求op的长；
若p点从o点出发向a点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段oa上另一个点q从a点出发向o点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当q点到达o点时停止运动，p点也同时停止运动）．过q点作x轴的垂线，与直线ab交于点f，延长qf到点m，使得fm＝qf，以qm为斜边，在qm的左侧作等腰直角三角形qmn（当q点运动时，m点、n点也随之运动）．若p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
2、如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝90°，ad＝6，bc＝8，ab＝，点m是bc的中点．点p从点m出发沿mb以每秒1个单位长的速度向点b匀速运动，到达点b后立刻以原速度沿bm返回；点q从点m出发以每秒1个单位长的速度在射线mc上匀速运动．在点p，q的运动过程中，以pq为边作等边三角形epq，使它与梯形abcd在射线bc的同侧．点p，q同时出发，当点p返回到点m时停止运动，点q也随之停止．
设点p，q运动的时间是t秒（t＞0）．
1）设pq的长为y，在点p从点m向点b运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
2）当bp＝1时，求△epq与梯形abcd重叠部分的面积．
3）随着时间t的变化，线段ad会有一部分被△epq覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
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