6、（2007南充）如图，已知be⊥ad，cf⊥ad，且be＝cf．请你判断ad是△abc的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．
解：ad是△abc的中线．
理由如下：在rt△bde和rt△cdf中，∵ be＝cf，∠bde＝∠cdf，∴ rt△bde≌rt△cdf． ∴bd＝cd．
故ad是△abc的中线．
7、（2007浙江杭州）如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论：
①射线是的角平分线；
②是等腰三角形；
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。
（1）正确的结论是①、②2）证明略。
8、（2007四川乐山）如图（11），在等边中，点分别在边上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（1）证明：是等边三角形，又，··4分。
5分。（2）解由（1），得···6分。
···9分。
9、（2007重庆）已知，如图：△abc是等腰直角三角形，∠abc＝900，ab＝10，d为△abc外一点，边结ad、bd，过d作dh⊥ab，垂足为h，交ac于e。
（1）若△abd是等边三角形，求de的长；
（2）若bd＝ab，且，求de的长。
解：（1）∵△abd是等边三角形，ab＝10，∴∠adb＝600，ad＝ab＝10
∵dh⊥ab ∴ah＝ab＝5， ∴dh＝
∵△abc是等腰直角三角形 ∴∠cab＝450
∴∠aeh＝450 ∴eh＝ah＝5，∴de＝dh－eh＝
（2）∵dh⊥ab且， ∴可设bh＝，则dh＝，db＝
∵bd＝ab＝10 ∴ 解得：
∴dh＝8，bh＝6，ah＝4
又∵eh＝ah＝4， ∴de＝dh－eh＝4
10、（2007四川乐山）如图（13），在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．
（1）当时，求的长；
（2）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
我选做的是。
解（1）在中，由，得， 由知，．
（2）假设存在满足条件的点，设，则。
由知，，解得，此时，符合题意．
11、（2007山东青岛）已知：如图，△abc是边长3cm的等边三角形，动点p、q同时从a、b两点出发，分别沿ab、bc方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点p到达点b时，p、q两点停止运动．设点p的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△pbq是直角三角形？
（2）设四边形apqc的面积为y（cm2），求y与t的。
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形apqc的面积是△abc面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设pq的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
解：⑴ 根据题意：ap＝t cm，bq＝t cm．
△abc中，ab＝bc＝3cm，∠b＝60°，∴bp＝(3－t ) cm．
△pbq中，bp＝3－t，bq＝t，若△pbq是直角三角形，则∠bqp＝90°或∠bpq＝90°．
当∠bqp＝90°时，bq＝bp．
即t＝(3－t )，t＝1 (秒)．
当∠bpq＝90°时，bp＝bq．3－t＝t，t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△pbq是直角三角形．
⑵ 过p作pm⊥bc于m ．rt△bpm中，sin∠b＝，∴pm＝pb·sin∠b＝(3－t )．s△pbq＝bq·pm＝· t ·(3－t )．
∴y＝s△abc－s△pbq＝×32×－·t ·(3－t )＝
∴y与t的关系式为： y＝．
假设存在某一时刻t，使得四边形apqc的面积是△abc面积的，则s四边形apqc＝s△abc ．∴32×．
∴t 2－3 t＋3＝0．∵(3) 2－4×1×3＜0，∴方程无解．
∴无论t取何值，四边形apqc的面积都不可能是△abc面积的．……8′
⑶ 在rt△pqm中，mq＝＝．
mq 2＋pm 2＝pq 2．∴x2＝[(1－t ) 2＋[(3－t ) 2
＝＝＝3t2－9t＋9．
∴t2－3t＝．∵y＝，∴y＝＝＝
∴y与x的关系式为：y＝．
12、（2007甘肃**等）如图，已知等边△abc和点p，设点p到△abc三边ab、ac、bc（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△abc的高为h．
在图（1）中， 点p是边bc的中点，此时h3=0，可得结论：．
在图（2）--5）中，点p分别**段mc上、mc延长线上、△abc内、△abc外．
（1）请**：图（2）--5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形rbcs是等腰梯形，∠b=∠c=60o， rs=n，bc=m，点p在梯形内，且点p到四边br、rs、sc、cb的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
解：（1）图②—⑤中的关系依次是：
h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
证法一： ∵h1=bpsin60o，h2=pcsin60o，h3=0，
∴ h1+h2+h3=bpsin60o+pcsin60o
=bcsin60o=acsin60o=h．
证法二：连结ap， 则sδapb+sδapc=sδabc．
又 h3=0，ab=ac=bc， ∴h1+h2+h3==h．
（3）证明：图④中，h1+h2+h3=h．
过点p作rs∥bc与边ab、ac相交于r、s．
在△ars中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．
∴ h1+h2+h3=h．
说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．
（4）h1+h3+h4= ．
让r、s延br、cs延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广。
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