1. （上海市—21题—10分）如图：点c、d
分别在扇形aob的半径oa、ob的延长线。
上，且oa＝3，ac＝2，cd∥ab，并。
与弧ab相交于点e、f.
（1）求线段od的长。
2）若tan∠c＝ ，求弦ef的长。
2. （北京市—20题—5分） 如图：在。
abc中，ab＝ac，以ab为直径的⊙o
分别交ac、bc与点d、e，点f在ac的。
延长线上，且∠cbf＝ ∠cab.
1）求证：直线bf是⊙o的切线；
2）若ab＝5，sin∠cbf＝ ，求：bc和bf的长。
3. （南京市—26题—8分）如图：在rtδabc中，acb＝900，ac＝6cm，bc＝8cm，p为bc的中点，
动点q从点p出发，沿射线pc方向以2cm/秒的。
速度运动。以p为圆心，pq的长为半径做圆，设。
点q运动的时间为t秒。
（1）当t＝1.2时，判断直线ab与⊙p的位置关系，并说明理由；
2）已知⊙o为δabc的外接圆，若⊙p与⊙o相切，求：t的值。
4. （天津市—22题—8分）已知：ab与⊙o
相切于点c，oa＝ob，ob与⊙o分别相交于。
点d、e.（1）如图1：若的⊙o直径为8，ab＝10,求：oa的长；（结果保留根号）
2）如图2：连接cd、ce，若四边形。
odce为菱形，求： 的值。
5. （福州市—20题—12分）如图：在δabc
中，∠a＝900，o是bc边上一点，以o为圆心。
的半圆分别与ab、ac边相切与d、e两点，连。
接od，若bd＝2，ad＝3.
求：（1）tan∠c；
2）图中两部分阴影面积的和。
6. （黄冈市—20题—12分）如图在圆内接四边形。
abcd中，cd为∠bca外角的平分线，f为ad上一。
点，bc＝af，延长df与ba的延长线交与e点。
（1）求证：δabd为等腰三角形；
2）求证。7. （2023年河北中考23题—10分）如图1至图5，⊙o均作无滑动滚动，⊙o1，⊙o2，⊙o3，⊙o4，均表示⊙o与线段ab或bc相切于端点时刻的位置，⊙o的周长为c .
阅读理解：（1）如图1，⊙o从⊙o1的位置出发，沿ab滚动到⊙o2的位置，当ab＝c 时，⊙o恰好自传1周。
2）如图2，∠abc相邻的补角是n0，⊙o在∠abc外部沿a—b—c滚动，在点b处，必须由⊙o1的位置旋转到⊙o2的位置，⊙o绕点b旋转的角∠o1bo2＝n0，⊙o在点b处自转周。
实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若ab＝2c ，则⊙o
自转周；若ab＝ ，则⊙o自转周；
在阅读理解的（2）中，若∠abc＝1200，则⊙o在点b
处自转周；若∠abc＝600，则⊙o在点b处自转周；
2）如图3，∠abc＝900，ab＝bc＝ .o从⊙o1的位置出发，在∠abc外部沿a—b—c滚动到⊙o4的位置，⊙o自转周。
拓展联想：1）如图4，δabc的周长为 ，⊙o从与ab相切于点d的位置出发，在δabc外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与ab相切于点d的位置，⊙o自转了周；请说明理由；
2）如图5，多边形的周长为 ，⊙o从与某边相切于点d的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点d的位置，直接写出⊙o自转的周数。
8. （2023年河北中考23题—10分）观察思考：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它。
的示意图．其工作原理是：滑块q在平直滑道上可以左。
右滑动，在q滑动的过程中，连杆pq也随之运动，并且。
pq带动连杆op绕固定点o摆动．在摆动过程中，两连杆的。
接点p在以op为半径的⊙o上运动．数学兴趣小组为进一步。
研究其中所蕴含的数学知识，过点o作oh⊥ 于点h，并。
测得oh=4分米，pq=3分米，op=2分米．
解决问题：1）点q与点o间的最小距离是分米；
点q与点o间的最大距离是分米；
点q在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置。
间的距离是分米．
2）如图14-3，小明同学说：“当点q滑动到点h的位。
置时，pq与⊙o是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？3）①小丽同学发现：“当点p运动到oh上时，点p到
的距离最小．”事实上，还存在着点p到距离最大。
的位置，此时，点p到的距离是分米；
当op绕点o左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
9. （2023年河北中考25题—10分）如图1至图4中，两平行线ab、cd间的距离为6，点m为ab上一定点。 请思考：
如图1中，圆心为o的半圆形纸片在ab、cd之间。
包括ab、cd），其直径mn在ab上，mn=8，点p为半。
圆上一点，设∠mop=α，当度时，点p到cd的距离最小，最小。
值为。**一。
在图1的基础上，以点m为旋转中心，在ab、cd
之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止。
如图2，得到最大旋转角∠bmo=__度，此时点n
到cd的距离是。
**二。将图1中的扇形纸片nop按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片mop绕点m在ab、cd之间顺时针旋转。
1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点。
p到cd的最小距离，并请指出旋转角∠bmo的最大值：
2）如图4，在扇形纸片mop旋转过程中，要保证点p能落在直线cd上，请确定α的取值范围。
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