2024年上海市高中数学竞赛试题。
2024年3月27日上午8：30——10：30
说明：解答本试题不得使用计算器。
一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）
1.方程组的解集为。
2.在平面直角坐标系中，长度为1的线段在轴上移动（点在点的左边），点、的坐标分别为、，则直线与直线交点轨迹的普通方程为 .
3.已知是椭圆在第一象限弧上的一点，轴，垂足为，当的面积最大时，它的内切圆的半径。
4.已知外接圆半径为1，角、、的平分线分别交外接圆于、、，则的值为 .
5.设，其中、为实常数，若，则的值为。
6.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，使，其中、均为整数，且，则满足条件的数对共有组。
7.已知圆的方程为（圆心为），直线与圆交于、两点，则直线，倾斜角之和为 .
8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜。若甲、乙两人每局取胜的概率都为，则甲最后获胜的概率是。
二、解答题：
9.（本题满分为14分）对于两个实数、，表示、中较小的数，求所有非零实数，使。
10. （本题满分为14分）如图，在中，为中点，点，分别在边，上，且，，，
求的大小。11. （本题满分为16分）对整数，定义集合，问，，，这600个集合中，有多少个集合不含完全平方数？
12. （本题满分为16分）求所有大于1的正整数，使得对任意正实数，，…都有不等式。
2024年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见。
一。 填空题。
1.; 2. y(x-2)=-2; 3.; 4. 2;
二。解答题。
9.解：当时，当时，故。
min=又min4’)
所以有以下四种情形：
1) 当时，原不等式为，.此时，.
2) 当时，原不等式为。此时，. 9’)
3) 当时，原不等式为此时，.
4) 当时， 原不等式为。此时，.
综上所述，满足题意的x的取值范围为。
10.解：延长no至p,使op=on,又bo=oc,可知bpcn为平行四边形，bp=cn=33’)
连接mp,在np的垂直平分线上6’)
令mn=a,则在和中，由余弦定理得
消去，得，于是14’)
11.解：.
中含有的平方数都不超过，且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的，故每个集合至少含有1个平方数。 (6’)
中，若含有平方数，都不小于。而当时，2x+153,从而中，每个集合至多含有1个平方数。
另一方面，中最大数是，中含有平方数。
则不超过12’)
中有且仅有173-25=148个集合含有平方数。
综上所述，中，有600-13-148=439个集合不含有平方数16’)
12.解：当n=2时，不等式为即。
故n=2满足题意2’)
当n=3时，不等式。
等价于。故n=3满足题意5’)
当n=4时，不等式为。
故n=4满足题意8’)
下证当n>4时，不等式不可能对任意正实数都成立。
取。则原不等式为。
这与矛盾。所以满足题意的正整数n为2,3,416’)
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