湖南省郴州市2023年中考数学试卷。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1、（湖南郴州3分）－的绝对值是。
a、 bc、－2 d、2
答案】a。2、（湖南郴州3分）函数自变量的取值范围是。
a、≥﹣3 b、≥3c、＞3 d、＞﹣3
答案】a。3、（湖南郴州3分）图中所给的三视图表示的物体是。
答案】b。4、（湖南郴州3分）我市“十二五”规划耕地保有量指标为4050000亩，4050000用科学记数法表示正确的是
a、4.05×107 b、4.05×106 c、4.05×105 d、405×105
答案】b。5、（湖南郴州3分）如图，下列四组条件中．不能判定四边形abcd是平行四边形的是。
a、ab=dc，ad=bc b、ab∥dc，ad∥bc
c、ab∥dc，ad=bc d、ab∥dc，ab=dc
答案】c。6、（湖南郴州3分）下列计算，正确的是。
a、2+3=5 b、23=6 c、（2）3=5 d、2﹣3=﹣
答案】d。7、（湖南郴州3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是。
答案】c。8、（湖南郴州3分）已知⊙o1与⊙o2外切．半径分别是r和r，圆心距o1o2=5，r和r的值是。
a、r=4，r=2 b、r=3，r=2 c、r=4，r=3 d、r=3，r=1
答案】b。二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9、（湖南郴州3分）分解因式： 2﹣4+4= ▲
答案】（﹣2）2。
10、（湖南郴州3分）当= ▲时，分式的值为0．
答案】=1。
11、（湖南郴州3分）一元一次方程2+4=0解是 ▲
答案】=﹣2。
12、（湖南郴州3分）不等式组的解集是 ▲
答案】1＜＜3。
13、（湖南郴州3分）写出一个不可能事件 ▲
答案】明天是三十二号（答案不唯一）。
14、（湖南郴州3分）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ▲
答案】。15、（湖南郴州3分）小亮同学为了估计全县九年级学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生人数做了调查：全乡人口约2万，九年级学生人数为300．全县人口约35万，由此他推断全县九年级人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是 ▲
答案】样本选取不合理。
16、（湖南郴州3分）如图，已知∠1=∠2=90°，ad=ae，那么图中有 ▲ 对全等三角形．
答案】3。三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
17、（湖南郴州6分）计算： ．
答案】解：原式=－1－4×＋1＋4=2。
18、（湖南郴州6分）当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？
答案】解：∵一元二次方程22+t+2=0的二次项系数=2，一次项系数=t，常数项=2，△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根。
19、（湖南郴州6分）作图题：在方格纸中，将△abc向右平移3个单位得到△a1b1c1，画出△a1b1c1．
答案】解：如下图。
所画△a1b1c1即为所求。
20、（湖南郴州6分）求与直线=平行，并且经过点p（1，2）的一次函数的解析式．
答案】解：根据题意，设一次函数解析式为=k+b，与直线=平行，∴k=1。
由点p（1，2）得：1+b=2，解得：b=1，函数解析式为： =1。
所以一次函数的解析式为： =1。
21、（湖南郴州6分）如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000～2023年城乡居民收入统计图，请根据统计图回答下列问题：
1）城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年？
2）十一年来，城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快？
3）如果今年城镇居民人均收入与农民人居年收入分别以10%与8%的增长率增长，今年城镇居民人均收入与农民人均年收入各是多少？（结果保留整数）
答案】解：（1）2023年，2023年，2023年三年的的城镇居民收入在12000以上。
2）城镇居民增长速度快一些。
3）今年城镇居民人均年收入为15342×（1＋10%）=16876.2≈16876（元）；
今年农民人均年收入为5208×（1＋8%）=5624.64≈5625（元）。
22、（湖南郴州6分）如图，李军在a处测得风筝（c处）的仰角为30°，同时在a正对着风筝方向距a处30米的b处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号）
答案】解：∵∠a=30°，∠cbd=60°，∴acb=30°。
bc=ab=30，在rt△bcd中，∠cbd=60°，bc=30，sin∠cbd=，sin60°=，
答：风筝此时的高度米。
四、证明题（本题8分）
23、（湖南郴州8分）在梯形abcd中，ad∥bc，且ad=dc，对角线bd平分∠abc．
求证：梯形abcd是一个等腰梯形．
答案】证明：∵ad∥bc，∴∠adb=∠dbc。
bd平分∠abc，∴∠abd=∠cbd。
∠adb=∠abd。∴ab=ad。
ad=dc，∴ab=cd。
四边形abcd是梯形，∴梯形abcd是等腰梯形。
五、应用题（本题8分）
24、（湖南郴州8分）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式；
2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
答案】解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，
将和分别代入两个关系式得：，解得：，。
小红的函数关系式是：，小敏的函数关系式是：。
2）把=0.5分别代入两个函数得：，。
解得： 1=3， 2=4，10×3=30（升），5×4=20（升）。
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡。
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25、（湖南郴州10分）如图，rt△abc中，∠a=30°，bc=10cm，点q**段bc上从b向c运动，点p**段ba上从b向a运动．q、p两点同时出发，运动的速度相同，当点q到达点c时，两点都停止运动．作pm⊥pq交ca于点m，过点p分别作bc、ca的垂线，垂足分别为e、f．
1）求证：△pqe∽△pmf；
2）当点p、q运动时，请猜想线段pm与ma的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
3）设bp=，△pem的面积为，求y关于的函数关系式，当为何值时，有最大值，并将这个值求出来．
答案】解：（1）证明：∵pe⊥bc，pf⊥ac，∠c=90°，∠peq=∠pfm=90°，∠epf=90°，即∠epq+∠qpf=90°。
又∵∠fpm+∠qpf=∠qpm=90°，∴epq=∠fpm。
△pqe∽△pmf。
2）相等。证明如下：
pb=bq，∠b=60°，∴bpq为等边三角形。∴∠bqp=60°。
△pqe∽△pmf，∴∠pmf=∠bqp=60°。
又∵∠a+∠apm=∠pmf，∴∠apm=∠a=30°。∴pm=ma。
3）ab=，bp=，则ap=20﹣，pe=cos30°=，pf=（20﹣），s△pem=pe×pf，y=
当=10时，函数的最大值为。
26、（湖南郴州10分）如图，在平面直角坐标系中，a、b两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），p是线段ab上的一动点（不与a、b重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．
1）求经过o、p、b三点的抛物线的解析式；
2）当p点**段ab上移动时，过o、p、b三点的抛物线的对称轴是否会随着p的移动而改变；
3）当p移动到点（，）时，请你在过o、p、b三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与p、b两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．
答案】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线过原点o（0，0）．∴c=0。把b、p两点的坐标分别代入，得。
解得。∴。2）由（1）可知抛物线的对称轴是。
过o、p、b三点的抛物线的对称轴是否会随着p的移动而改变。
3）设抛物线的对称轴与轴交于点k，过点k作pb的垂直平分线交抛物线于q1，q2两点。
则△q1pb，△q2pb是等腰三角形。
p点的坐标是（，）op的解析式是，且q1q2∥op，点k（，0），q1q2的解析式是：，抛物线的解析式为：。
联立，即得直线和抛物线的交点q1，q2两点的坐标是。
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