湖南省湘潭市2023年中考数学试卷。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
1、（湖南湘潭3分）下列等式成立是
a、|﹣2|=2 b、﹣（1）=﹣1 c、1÷（-3d、﹣2×3=6
答案】a。．
2、（湖南湘潭3分）数据：1，3，5的平均数与极差分别是
a、3，3 b、3，4 c、2，3 d、2，4
答案】b。3、（湖南湘潭3分）不等式组的解集在数轴上表示为
答案】a。4、（湖南湘潭3分）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是。
a、球 b、圆柱 c、长方体 d、圆锥。
答案】b。5、（湖南湘潭3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是
a、平行四边形 b、正方形 c、等腰梯形 d、矩形。
答案】b。6、（湖南湘潭3分）在平面直角坐标系中，点a（2，3）与点b关于轴对称，则点b的坐标为
a、（3，2） b、（﹣2，﹣3） c、（﹣2，3） d、（2，﹣3）
答案】d。7、（湖南湘潭3分）一元二次方程（﹣3）（﹣5）=0的两根分别为
a、3，﹣5 b、﹣3，﹣5c、﹣3，5 d、3，5
答案】d。8、（湖南湘潭3分）在同一坐标系中，一次函数=+1与二次函数=2+的图象可能是
答案】c。二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）
9、（湖南湘潭3分）因式分解： 2﹣1= ▲
答案】（+1）（﹣1）。
10、（湖南湘潭3分）为改善湘潭河东地区路网结构，优化环境，增强城市功能，湘潭市河东风光带于2023年7月18日正式开工，总投资为***元，用科学记数法表示这一数字为 ▲ 元．
答案】8.8×108。
11、（湖南湘潭3分）如图，∥，若∠2=130°，则∠1= ▲度．
答案】50。
12、（湖南湘潭3分）函数中，自变量的取值范围是 ▲
答案】≠1。
13、（湖南湘潭3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的**为元，根据题意，列出方程为 ▲
答案】8＋38=50。
14、（湖南湘潭3分）端午节吃粽子是中华民族的习惯．今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是 ▲
答案】。15、（湖南湘潭3分）如图，已知：△abc中，de∥bc，ad=3，db=6，ae=2，则ec= ▲
答案】4。16、（湖南湘潭3分）规定一种新的运算： ，则 ▲
答案】。三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）
17、（湖南湘潭6分）计算： ．
答案】解：原式=。
18、（湖南湘潭6分）先化简，再求值： ，其中．
答案】解：原式=。
当时，原式=。
19、（湖南湘潭6分）莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在c点测得旗杆顶端a的仰角为30°，向前走了6米到达d点，在d点测得旗杆顶端a的仰角为60°（测角器的高度不计）．
1）ad= 米；
2）求旗杆ab的高度（）．
答案】解：（1）6。
2）在rt△abd中，∵ad=6，∠adb=60°，ab=。
旗杆ab的高度为5.2米。
20、（湖南湘潭6分）2023年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为a、b、c三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
1）补全频数分布表与频数分布直方图；
2）如果成绩为a等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？
答案】解：（1）如图表：
2）a等级的同学人数为40人，频率为0.40，估计该校九年级约有 0.4×360=144人达到优秀水平。
21、（湖南湘潭6分）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边长为米，求的整数解．
答案】解：∵面积大于48平方米，周长小于34米，，解得6＜＜9。
为整数解，为7，8。
故的整数解为7，8。
22、（湖南湘潭6分）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品．班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2元/支，笔记本1元/本，且每样东西至少买一件．
1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率．
答案】解：（1）设钢笔和笔记本两种奖品各，件，则≥1，≥1，2+=15。
当=1时， =13；当=2时， =11；当=3时， =9；当=4时， =7；当=5时， =5；
当=6时， =3；当=7时， =1。
故共有7种购买方案。
2）∵共有7种购买方案，买到的钢笔与笔记本数量相等的购买方案有1种，买到的钢笔与笔记本数量相等的概率为。
23、（湖南湘潭8分）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于a（1，0）、b（0，﹣1）两点，且又与反比例函数的图象在第一象限交于c点，c点的横坐标为2．
1）求一次函数的解析式；
2）求c点坐标及反比例函数的解析式．
答案】解：（1）∵一次函数的图象与轴，轴分别交于a（1，0）、b（0，﹣1）两点，，解得。∴一次函数的解析式为。
2）∵c点的横坐标为2，且在一次函数的图象上，∴=2﹣1=1。则c（2，1）。
又c点在反比例函数的图象上，代入即得。
反比例函数的解析式为。
24、（湖南湘潭8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图（1），ab=6cm，bc=8cm，∠abc=90°，将rt△abc在直线l上左右平移，如图（2）所示．
1）求证：四边形acfd是平行四边形；
2）怎样移动rt△abc，使得四边形acfd为菱形；
3）将rt△abc向左平移4cm，求四边形dhcf的面积．
答案】解：（1）证明：∵四边形acfd为rt△abc平移形成的，即ad∥cf，ac∥df，四边形acfd为平行四边形。
2）要使得四边形acfd为菱形，即使ad=ac即可，在rt△abc中，ab=6cm，bc=8cm，∠abc=90°，根据勾股定理求得ac=10cm，将rt△abc向左、右平移10cm均可使得四边形acfd为菱形。
3）将rt△abc向左平移4cm，即be=ec=4cm，eh为rt△abc的中位线，∴h为de的中点，即he=3 cm。
△ceh的面积为cm2，又△def的面积为cm2，四边形dhcf的面积=△def的面积－△ceh的面积=24﹣6=18（cm2）。
答：四边形dhcf的面积为18cm2。
25、（湖南湘潭10分）如图，直线=3+3交轴于a点，交轴于b点，过a、b两点的抛物线交轴于另一点c（3，0）．
1）求抛物线的解析式；
2）在抛物线的对称轴上是否存在点q，使△abq是等腰三角形？若存在，求出符合条件的q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案】解：（1）∵当=0时， =3；当=0时， =1，a（﹣1，0），b（0，3），由a（﹣1，0），c（3，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为=（+1）（﹣3），将b（0，3）代入，得3=×1×（﹣3），∴1。
此抛物线的解析式为=﹣（1）（﹣3）=﹣2+2+3。
2）存在。抛物线的对称轴为：，设q点坐标为（1，），则，。
当ab=aq时，，解得：，q点坐标为（1，）或（1，－）
当ab=bq时，，解得：，q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当aq=bq时，，解得：，q点坐标为（1，1）。
综上所述，抛物线的对称轴上是存在着点q（1，）、1，－）1，0）、（1，6）、（1，1），使△abq是等腰三角形。
26、（湖南湘潭10分）已知，ab是⊙o的直径，ab=8，点c在⊙o的半径oa上运动，pc⊥ab，垂足为c，pc=5，pt为⊙o的切线，切点为t．
1）如图（1），当c点运动到o点时，求pt的长；
2）如图（2），当c点运动到a点时，连接po、bt，求证：po∥bt；
3）如图（3），设pt2=，ac=，求与的函数关系式及的最小值．
答案】解：（1）连接ot， 当c点运动到o点时，pt为⊙o的切线，∴ot⊥pt,在rt△pto中，2)连接at，当c点运动到a点时，pc⊥ab，∴pa是⊙o的切线。
pt为⊙o的切线，∴pa=pt，po平分∠apt。∴po⊥at。
ab是⊙o的直径，∴∠atb是直角，即bt⊥at。
po∥bt。
连接op、ot，ac=，∴
在rt△pco中，
在rt△pot中，,，即。
当=4时，最小其值为9。
与的函数关系式为，的最小值是9。
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