第二章。
习题1 初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。
解] 采用拉格朗日描述法，，得。
由格林应变张量，，，得。
习题2 证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。
证明] 1），显然可得其对称性。
对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之间的方向余弦如下表。
由弹性力学理论知，，恰与张量定义相吻合，是二阶对称张量的分量。
2）设有一剪应变张量，其分量。
取任一矢量，则。
但不能缩并为，与假设是张量矛盾。
根据张量的商判则，不是任何张量的分量。
习题3 为求平面应变分量、、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测得应变值以、、表示，试求、、
解] 平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为。
根据方向线元的工程正应变公式，，得。
求得。习题4 假设体积不可压缩位移与很小，，在一定区域内已知，其中，，为常数，求。
解] 题目条件适用小变形，，得。
体积不可压缩，
即。习题6 证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。
证明] 对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关。
关于，对称；关于，对称。
对于排列符号。
关于，反对称；关于，反对称。
即应变恒满足变形协调方程，
习题7 假定物体被加热至定常温度场时，应变分量为；，其中为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。
解] 由应变协调方程，，得。
又定常温度场应满足拉普拉斯方程，
故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项。
温度场的函数形式为。
其中，，，和均为常数。
习题8 试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程。
解] 轴对称平面应变情况下，应变分量为。
因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为。
习题9 在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变为常数，试确定其余两个应变分量和的表达式（材料是不可压缩的）
解] 平面轴对称情况下，变形协调条件为：
当材料不可压缩时，体积应变为零，即，代入上式，得。
解得，式中，c是右边界条件确定的常数。
习题10 试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。
解] 均匀变形状态可表示为。
其中，为常量。
设均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为。
曲面在均匀变形后变成球面，即。
略去刚体位移，当、、为主轴时，变形前的坐标满足。
变形前半轴为，，的椭球面在均匀变形后会变成球面。
特别的，当时，表示球面均匀变形后仍为球面。
习题11 若物体内各点的位移分量为，其中，均是常数。
试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后的物体内有：
1）直线在变形后仍然是直线；
2）相同方向的直线按同样的比例伸缩；
证明] 由位移分量求得物体内各点的应变分量为。
即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）
1）若物体内任意一点，变形后变为坐标和之间的关系为。
变形前，直线上的点，和满足。
将式（3）代入式（2），并整理，得。
式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线。
2）变形前连接两点，的直线长度为，方向余弦为、、，变形后的两对应点，的直线长度为，方向余弦为、、（图2.1）
将式（2）代入上式，得。
将上式两端除以，得。
而6）对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦、、，在均匀变形情况下，由式（6）和（7），知为常数。即。
相同方向的直线按同样的比例伸缩；
材料力学课件
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