“分类讨论”集结号。
一、引起分类讨论的几个主要原因 ：
1.问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
2.问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如讨论一次函数ｙ＝ｋk≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
3.解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
二、“分类讨论”的解题步骤。
1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类；
3、逐类讨论解决；
4、归纳并作出结论。
三、典型例题解法**。
一）、挖掘数学概念本身中的多种可能性进行分类讨论。
例1 如图pa、pb是⊙o的切线，a、b为切点， ∠apb=50° ，点c是弦ab所对弧上不同于a、b的任意一点，则∠acb
例2（2008湖北）若关于x的方程有实数根，求k的取值范围。
分析：本题学生容易受思维定势的影响，产生一种错误认识：方程有实根即等价于一元二次方程有实根→→且。
而事实上，已知中没有能确定方程类型的条件，因此方程类型不确定，而不同类型的方程有实根所得出的结论也不同，因此需对此方程的所有可能类型分类讨论，待分情况确定方程类型后，方能求解，讨论方程类型只需对其最高次项的系数讨论即可。
例3（2007四川）已知一次函数y=-x+8和反比例函数
1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？
k<16且k≠0
2）设(1) 中的两个交点为m、n，o为坐标原点，试比较∠mon与90°的大小。当k<0时当0解题攻略：有些数学概念包含多种类型，有些定理、公式、法则是受到某些条件约束的，当题目中涉及这些概念时，如果其类型或应用条件不确定时，就需要对这些概念的各种可能性分类讨论解决。
例3 分析：第一问得。。。第二问中欲比较∠aob与90的大小，必须确定出反比例函数y=k/x图像的大致位置，而其图像的位置受k的符号控制，因此本题需对k的取值分类讨论。
二）、分析点的位置的多种可能性进行分类讨论。
1、.由角相等引发的讨论。
例1（2008宣武一模）已知：直线交轴于两点，经过两点的抛物线顶点为．
1）求两点坐标；
2）求出该抛物线的函数关系式，并判断点是否在直线上；
3）以点为圆心，以为半径作⊙b，将⊙b沿轴翻折得到⊙d，试判断直线与⊙d的位置关系，并说明理由；
4）若为⊙b优弧上一动点，连结，问在抛物线上是否存在一点，使，若存在，试求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
分析：由于此题是在圆的背景下，研究角的问题，可引导学生尝试从圆中考虑角的思维方式分析。不难发现，∠aeo=∠aco=45°,则∠moa=30°则以o为顶点，oa为一边作30°角，则另一边与抛物线的交点即为m点。
由轴对称性可知这样的角x轴上方一个，x轴下方还有一个。（分析：题中m的位置不确定，因此要想求出点的坐标，首先必须在图中确定出m的位置。
图中对于限制m的条件有两个： m是抛物线上一点； 。显然这里核心条件是。
由于此题是在圆的背景下，研究角的问题，可引导学生尝试从圆中考虑角的思维方式分析。不难发现，∠aeo是圆周角，∠aco也是是圆周角且等于45°，则∠aeo=∠aco=45°,则∠moa=30°,则以o为顶点，oa为一边作30°角，则另一边与抛物线的交点即为m点。由于角是轴对称图形，利用轴对称，不难得出x轴下方还有一个符合题意的角。
）2.由面积相等引发的分类。
例1（2007东城一模）已知：如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点a，b，此抛物线与轴的另一个交点为c，抛物线的顶点为。
1）求此抛物线的解析式；
2）点为抛物线上的一个动点，求使得的面积与的面积相等的点的坐标。
分析：由（1）得；在（2）中，可引导学生先归纳m所满足的条件，然后再对核心条件逐一分析，其中是“的面积与的面积相等”是核心条件，结合图形不难发现，这两个三角形是等底的，因此要使面积相等，则高必然相等，那么这意味着m必须满足怎样的条件呢？显然这就要求m到直线ae的距离与d到ae的距离相等，教师继续追问：
这样的点m在**呢？ 不难得出，m可以在过点d与ae的平行线上，教师继续追问：还可以在哪呢？
学生利用对称性，对称的自然可以想到此直线关于ae对称得另一条直线也符合要求。再加上m又在抛物线上，则m就是这两条直线与m的交点。求出这两条直线的解析式，分别与抛物线解析式连立方程组即可求出m的所有坐标。
解题攻略：当结论中所**的点的位置，主要受图形的某种数量关系所控制时，此时点的位置一般不唯一。通常是利用图形的数量关系数形结合的先求出一个点，然后再利用对称性求出其他位置上的点。
例2（2009朝阳一模）抛物线与x轴交于a（－1，0）、b两点，与y轴交于点c（0，－3），抛物线顶点为m，连接ac并延长ac交抛物线对称轴于点q，且点q到x轴的距离为6.
1）求此抛物线的解析式；
2）在抛物线上找一点d，使得dc与ac垂直，求出点d的坐标；
3）抛物线对称轴上是否存在一点p，使得s△pam=3s△acm，若存在，求出p点坐标；若不存在，请说明理由。
分析：（1）（2）略；（3）同样先引导学生归纳p满足的所有条件，然后分析核心条件：s△pam=3s△acm。
不难发现，△acm各顶点坐标均已知，所以利用贴轴法即可求出△acm的面积为1，所以△apm的面积为定值等于3，并且p、m均在对称轴上，因此△apm中的高已知为2，则底pm=3，由于m是定点，p是动点，这样就将问题归结为“确定直线上到定点的距离等于定长的点”的数学问题了。教师提问：“这样的点m在**呢？
”学生根据m点的坐标，不难发现从m出发向上平移3个单位，即为点p的一个坐标，此时教师追问：“p点还可能在什么位置？”学生再次利用对称性，发现该点关于m的对称点也符合要求，即从m出发向下平移3个单位，即为点p的一个坐标。
3.由图形的形状引发的讨论。
例1（2005北京）在△abc中，∠b＝25°，ad是bc边上的高，并且则∠bca的度数为 65°或115°
例2 已知△abc中，ab=4,ac= 若∠c＝45°，则 bc长为。
解题攻略：当题目本身未给出图形，由已知所描述的两个三角形的边角关系又不能将三角形的形状唯一确定（比如ssa)，并且不同形状的图形会使问题产生不同的求解结果时，要对此三角形的可能形状加以讨论（比如直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）.
例3 如图，已知a（-1，0）和b（1，2），在坐标轴上确定点p，使得△abp为直角三角形，则满足条件的点共有（c ）
a. 2个 b. 4个 c. 6个 d. 7个。
分析：这个问题实际上归结为以一条线段为边构造直角三角形的问题，确定直角三角形主要围绕直角进行，因此对直角顶点分类讨论，当a做垂线，当b做垂线，当c为直角顶点时，利用直径所对的圆周角是直角，画辅助圆确定c的位置。
例4 如图，已知a（-1，0）和b（1，2），在坐标轴上确定点p，使得△abp为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
a. 2个 b. 4个 c. 7个 d. 8个。
分析：这个问题实际上归结为以一条线段为边构造等腰三角形的问题，确定等腰三角形主要围绕顶角进行，对顶角顶点分类讨论，和例6同样，可以借助辅助线去比较全面的找到所有符合条件的点。当a为顶角顶点，那么等腰三角形第三个顶点就在。。。
当b为顶角顶点，那么等腰三角形第三个顶点就在。。。当p为顶角顶点，那么等腰三角形第三个顶点就在。。。
例5（2009朝阳毕业）如图，二次函数的图象与x轴交于点a、点b,与y轴交于点c,其顶点为d，tan∠obc=1.
1) 求点b的坐标；
2) 求a的值和二次函数的顶点坐标；
3) 求直线dc的解析式；
在该二次函数的图像上是否存在点p（点p与点b、c不重合），使得△pbc是以bc为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请你说明理由。
分析：（1）（2）（3）略；（4）教师首先引导学生思考核心条件：“△pbc是以bc为一条直角边的直角三角形”，学生分析不出来，也可让学生试着画出图形，然后将不同的画法进行对比，并分析△pbc的形状不确定的原因。
学生不难得出，原因在于其中的直角不确定，可能是∠pcb,也可能是∠pbc,而且不同情况下的因此点p在不同位置，所以本题需要对那个角是直角进行分类讨论。
4、由对应关系引发的讨论、
例1（2009丰台二模 ）已知抛物线经过点a（5，0）、b（6，-6）和原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点b的直线与抛物线相交于点c（2，m），求obc的面积；（3）过点c作平行于x轴的直线交y轴于点d，在抛物线对称轴右侧位于直线dc下方的抛物线上，任取一点p，过点p作直线pf平行于y轴交x轴于点f，交直线dc于点e．是否存在点p，使得以c、e、p为顶点的三角形与ocd相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）（2）略；（3）欲求p点坐标，离不开求线段长，题中给了相似的条件，那么利用相似可否求线段长呢？学生自然想到利用对应边成比例求解，那么那些边是对应的呢？
显然本题的对应关系不确定，所以要想得出比例式必须对这两个三角形的对应关系进行讨论。由于本题中∠cdo=∠cep=90°,所以可以对对应角进行分类讨论。
5、图形运动变化过程中的分类讨论。
例9 如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以o、a为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以p(0,3)为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：
1）点的坐标（用含的代数式表示）；
2）当点在运动过程中，所有使⊙p与菱形的边所在直线相切的的值．
分析：（1）略（2）随着点a的运动，⊙p的半径与菱形的边长均在增大，所以⊙p与菱形的各边所在直线均有可能相切，但根据题意分析后发现∠pcb不可能等于90°，所以⊙p 不会与bc所在的直线相切。因此，本题需分三种情况分类讨论解。
解题攻略：图形的动态变化导致图形间的位置关系在不断发生着变化，这就要求探索出运动过程中图形间位置关系的所有可能的情况，分类讨论。
例10 有一根直尺defg的短边de长2㎝，长边dg长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板abc，它的斜边长12㎝.如图，将直尺的短边de与直角三角形纸板的斜边ac放在一条直线上，且点e与a重合。令直角三角形纸板不动，将直尺沿ac方向平移，设平移的长度为x㎝(0≤x≤12),直尺和三角形纸板的重叠部分的面积为。
求与x之间的函数关系式。
分析：在直尺平移过程中，重叠部分图形的形状在发生变化：直角三角形直角梯形五边形直角梯形，因此，要分4种情况讨论，逐一建立函数关系式。
解题攻略：此题的分类标准是根据重叠部分图形不同的形状。在几何图形运动的位置关系不确定时，往往应根据运**形的特点进行分类讨论。
第3种情况是最容易遗漏的，动手画出移动后的图形能帮助更好的理解题意，并保证了分类的不重不漏。
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