例6、设f(x)是定义在（0，＋∞上的增函数，且对任意的x，y∈（0，＋∞都有f(xy)＝f(x)＋f(y)。
1）求证：当x∈（1，＋∞时，f(x)＞0；且f()＝f(x)－f(y).
2）若f(2)＝1，解不等式f(x＋2)－f(2x)＞2.
分析：由f(xy)＝f(x)＋(y)，不难想到f(x)应为对数函数形式，所以f(1)＝0，由题意条件，f(x)为增函数，据此不难求解。
解：（1）令x＝y＝1，则由f(xy)＝f(x)＋f(y)得f(1×1)＝f(1)＋f(1).
即f(1)＝2f(1)，f(1)＝0，又由于函数f(x)在（0，＋∞上为增函数，所以对任意x∈（1，＋∞有f(x)＞f(1)＝0，故f(x)＞0.
设x，y∈（0，＋∞则有 ∈（0，＋∞于是f(x)＝f(y) ＝f()
f(y)，即f()＝f(x)－f(y).
2）由于f(2)＝1，所以f＝f(2)＋f(2)＝f(2×2)＝f(4)，由f(x＋2)－f(2x)＞2，f(x＋2)＞f(2x)＋f(4)， f(x＋2)＞f(8x)，又因为函数f(x)在（0，＋∞上为增函数，所以x＋2＞8x，因x∈（0，＋∞
所以 0＜x＜ .
一、强化训练。
一） 选择题。
1.函数y＝2－x＋1（x＞0）的反函数是（ ）
2.已知是上的减函数，那么的取值范围是。
a） （bcd）
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有。
ab） （cd）
4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则。
a） （b） （c） （d）
5.函数的定义域是。
abc. d.
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是。
a. b. c. d.
7、函数的反函数的图像与轴交于点。
如右图所示），则方程在上的根是。
a.4b.3c. 2d.1
8、设是r上的任意函数，则下列叙述正确的是。
(a)是奇函数b)是奇函数
c)是偶函数d)是偶函数。
9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则。
ab． cd．
10、设。a)0b)1c)2d)3
11、对a，br，记max＝，函数f（x）＝max(xr)的最小值是。
a)0bcd)3
12、关于的方程，给出下列四个命题：
存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是。
a．0b．1c．2d．3
二） 填空题。
13.函数对于任意实数满足条件，若则。
14.设则。
15.已知函数，若为奇函数，则___
16. 设，函数有最小值，则不等式的解集为。
三） 解答题。
17. 设函数。
1）在区间上画出函数的图像；
2）设集合。 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。
18、已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈［－5，5］
）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间［－5，5］上是单调函数。
19. 已知定义域为的函数是奇函数。
ⅰ）求的值；
ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
20.设函数f(x)＝其中a为实数。
ⅰ)若f(x)的定义域为r，求a的取值范围；
ⅱ)当f(x)的定义域为r时，求f(x)的单减区间。
21. 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
i）用表示，并求的最大值；
ii）求证：（）
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