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mba2002联考共享笔记——数学重点习题（6）
1、假设由自动线加工的某种零件内径ξ（单位：mm）服从正态n（μ，1）分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件不合格品亏损，已经销售利润t（单位：元）与销售零件的内径ξ关系为：
t=问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（答案：μ≈10.9）
思路】利润l=-1*φ(10-μ)20*[φ12-μ)10-μ)5*[1-φ(12-μ)25φ(12-μ)21φ(10-μ)5
25∫1/(2π)^0.5e^(-0.5x^2) 从-∞到12-μ的积分。
21∫1/(2π)^0.5e^(-0.5x^2) 从∞到10-μ的积分 -5
对上式求导得。
l’=1/(2π)^0.5(21e^[0.5(10-μ)2]-25 e^[0.5(12-μ)2]
令l’=0即可以求得μ=10.9
此时销售一个零件的平均利润最大。
2、设某种商品每周的需求量ξ是服从区间[0，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]的某一整数，商店每销售1单位的商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂**，此时每单位仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。
这道题绕老绕去，把我给整晕了，希望高手指点迷津！书上的答案是24）
【思路】设进货量为n,需求量x,则。
n3、设a, b是正整数，且x2+ax+2b=0和x2+2bx+a=0各有实根，则a+b的最小可能值是？
【思路】1、两个方程的△都应大于等于0，得：a2≥8b（1）式； b2≥a（2）式。
2、由（2）式得：b≥a1/2，代入（1）得：a2≥8*a1/2，所以，a≥4，（等号成立时，b=2）
3、由（1）式得：a≥（8*b）1/2，代入（2）得：b1/2≥≥（8*b）1/2，所以，b≥2，（等号成立时，a=4）
4、由以上可知，当a取最小值4时，b取最小值2，所以a+b的最小值为6
4、设一年中第i季度某地段发生交通事故的次数xi服从参数为λi的泊松分布。i=1，2，3，4，并且各季度发生交通事故的次数互不影响。求：、
1）该地段上半年发生交通事故次数的分布；
2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数；
3）若记z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算ez与dz。
【思路】（1）该地段上半年发生交通事故次数的分布；
设pi(i=0,1,2...第季度某地段发生交通事故的次数x1=i服从参数为λ1的泊松分布；
**(j=0,1,2,..第2季度某地段发生交通事故的次数x2=j服从参数为λ2的泊松分布；
k=0,1,2...为上半年某地段发生交通事故y的次数。
已知pi=[(1^i)*e^(-1)]/i!;**=[(2^j)*e^(-2)]/j!;
p=pi*pj(i+j=k的所有组合)＝西格阿｛[(1^i)*e^(-1)]/i!｝*1+λ2)^k*e^(-1-λ2)]/k!
该地段上半年发生交通事故次数的分布[(λ1+λ2)^k*e^(-1-λ2)]/k!
k=1,2,3...
2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数；
e(y)=λ1+λ2
10年平均次数有独立性知为10＊e(y)=10(λ1+λ2)
3)若记z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算ez与dz。
上半年未发生交通事故概率为u=p=e^(-1-λ2)
上半年发生交通事故概率为v=1-p=e^(-1-λ2)
连续10年中该地段上半年未发生交通事故的年数服从二项分布（10,u）
ez=10*u
dz=10*u*v
5、设随机变量x1与x2相互独立同分布，x1的概率函数为p（x1=i）=1/3,i=1,2,3.
令x=max(x1,x2),y=min(x1,x2)
(1)求二维随机向量（x，y）的联合分布；
2）求x与y的协差阵。
6、先看四道题：
1 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成甲，乙两组（组不同，计次序），每组2个元素（平均分），有几种分法？
c(4,2)*c(2,2)=6
2 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成两堆（堆相同，不计次序），每堆2个元素（平均分），有几种分法？
c(4,2)*c(2,2)/2！=3
3 把6件不同的奖品分成三堆（堆相同，不计次序），一堆1件，一堆2件，一堆3件（不平均分），有几种分法？
c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)=60
4 把6件不同的奖品分给甲，乙，丙三个人（人不一样，计次序），一人1件，一人2件，一人3件（不平均分），有几种分法？
c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)*3!=360
思路总结】n个不同的元素，分成m个和n-m个两组（当然两组以上相同），有几种分法？
公式一：计次序（即组不一样）；平均分（即m=n-m)
(也可以写成n!/m!*(n-m)!)
公式二：计次序（即组不一样）；不平均分
2！（2！是组数的阶乘）
公式三：不计次序（即组看成一样，无区别）；平均分。
公式四：不计次序（即组看成一样，无区别）；不平均分。
这四个公式是这类问题的万能公式，关键在于搞清是不是平均分，计不次序，学会了这类问题就迎刃而解了，但是要活学活用，不能死套。
例如：把9本书分甲2本，乙3本，丙4本，有几种分法？
从题上看是不平均分，计次序，应该用公式二，但是次序已经固定了，甲2本，乙3本，丙4本，应该用公式四，c(9,2)*c(7,3)*c(4,4)=1260.
公式一与公式四的结果一样。
7、 假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是2000/(10+x)元，已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需要花费多少成本？答案：2000*ln(10010/4010)
【思路】所求成本= =2000*ln(10010/4010)
8、设某工厂生产某型号的车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半，设每年每台库存费为c元，问如何选择批量，使一年中库存费与生产准备费之和最小。
【思路】一年中库存费=xc/2
一年生产准备费=ba/x
所求的和= xc/2+ ba/x≥2 =
当xc/2=ba/x 即x=时取等号。
9、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定t=0)就售出，总收入为r0元，如果窖藏起来待来年按陈酒****，t年末总收入r(t)= r0元，假定银行的年利率为r,并以连续复利计息，试求窖藏多少煎售出可以使总收入的现值最大。 答案：t0=1/(25*r2)
【思路】复利意义：现在1元年利率2%，则一年后1*（1+0.02）1；
二年后1*（1+0.02）1 *(1+0.02) 1=1*(1+0.
02) 2……第n年后有1*（1+0.02）n元，现值也就是多少年后的1元钱相当于现在的多少元钱，即设第n年后的1元，则1=x*(1+0.02) n其中的x就是第n年后1元的现值。
设t年末总收入的现值f(t)，则f(t)= r0/（（1+r) t)
10、在一大批元件中只有40%合用的，现一个个的随机从中取元件，取到5个合用的为止，记 x 是所取的元件总数，求 x 的期望和方差。
【思路】设第一次取到合用的为止共取x1个元件，从第一次取到合用到取到第二个为止取了x2个元件，从第二次取到合用到取到第三个为止取了x3个元件，从第三个取到合用到取到第四个为止取了x4个元件，从第四次取到合用到取到第五个为止取了x5个元件，这五个事件相互独立，且符合参数为0.4的几何分布，故∑xi=1/0.4
则x=x1+x2+x3+x4+x5
x=∑x1+∑x2+∑x3+∑x4+∑x5=5/0.4（其实你只是需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：
几何分布 ex= ex2= dx=）
张牌，分别是2.3.4.5.6点，从中任意摸出3张，以x表示出3张牌中点数的最大值，求x的分布率。
【思路】p（x=4）=1/c（3，5）=0.1。
p（x=5）=c(2,3)/c（3，5）=0.3，p（x=6）= c(2,4)/c（3，5）=0.6
12、某射手对同一目标进行射击，直到击中r次为止，记x为所用射击次数，已知他的命中率为p,求e（x），d（x）答案e（x）=r/p d(x)=r(1-p)/p^2 d（x）
【思路】把开始到第一次射中设为x1，一~二之间设为x2，依次类推直到xr
则x=x1+x2+…+xr，这r个事件两两独立，符合几何分布。
e（xi）= 1/p d（xi）=q/（p^2）
则e（x）= e（x1）+ e（x2）+ e（x3）+…e（xr）=r/p
d（x）= d（x1）+ d（x2）+ d（x3）+…d（xr）=r（1-p）/(p^2)
注：你需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：
几何分布 ex= ex2= dx=可以自己推算的。
13、设f(x)在定义域内严格单调，可导，且f'(x)不为0,已知： f(1)=-2 f'(1)=-1/根下2 f''(1)=2 求：
14、n阶a（a1,a2,..an）,n阶b(a1+a2,a2+a3,..an+a1)
若r（a）=n，判断bx=0是否有非0解？为什么？
【思路】求行列式b的值：/b/=/a1+a2,a2+a3,…,an+a1/
/a1,a2+a3,…,an+a1/+/a2,a2+a3,…,an+a1/
对分解后的第一个行列式，用-1*a1加到第n列(an+a1),用得到的新的第n列的-1倍加到前一列，如此直到第二列可得到/a1,a2,…,an/;
对后一个可用第一列的-1倍加到第二列，再用新得到的第二列的-1倍加到第三列，如此直到第n列可得/a2,a3,…,an,a1/=(1)^(n-1)/a1,a2,…,an/
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