导数与函数的综合问题。
1.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是___
2.若函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数,则实数m的取值范围是___
3.方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为___
4.下列不等式在(0,+∞上恒成立的是填序号)
lnx>x;②sinx>x;③tanx>x;④ex>x+1.
5.当x≠0时,a=ex,b=1+x,则a,b的大小关系是___
6.方程x3-6x2+9x-4=0的实根的个数为___
7.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是___
图k16-1
8.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是___
9.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是___
10.[2011·镇江统考] 已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)11.[2011·南通模拟] 已知函数g(x)=+lnx在[1,+∞上为增函数,且θ∈(0,π)则θ的值为___
12.[2011·海安检测] 已知函数y=f(x)是定义在r上的奇函数,且当x∈(-0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是___
13.(8分)已知函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点.证明:-2714.(8分)已知函数f(x)=+曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
1)求a,b的值;
2)证明:当x>0且x≠1时,f(x)>.
15.(12分)[2012·苏南联考] 已知函数f(x)=ln.
1)求函数的定义域,并证明f(x)=ln在定义域上是奇函数;
2)若x∈[2,6],f(x)>ln恒成立,求实数m的取值范围.
16.(12分)已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x.
1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;
3)若方程f(x)=g(x)+m有惟一解,试求实数m的值.
课时作业(十六)
基础热身】1.(0,+∞解析] y′=-4x2+b,函数有三个单调区间,即y′值有正、有负,则b>0.
2. [解析] y′=3x2+2x+m,因为函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数,故δ=4-4×3m≤0,从而m≥.
3.1 [解析] 设f(x)=2x3-6x2+7,则f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为x∈(0,2),所以有f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)内单调递减,又f(0)=7>0,f(2)=-1<0,所以在(0,2)内存在惟一的x0,使f(x0)=0,因此,方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为1.
4.③④解析] 当x=1时,①,不成立;对于③,设f(x)=tanx-x,则f′(x)=-1==≥0,因此f(x)在(0,+∞上是增函数,f(x)min>f(0)=0,符合题意;对于④,令f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1,在(0,+∞上f(x)是增函数,故f(x)min>f(0)=0,符合题意.
能力提升】5.a>b [解析] 设y=ex-1-x,∴y′=ex-1,∴x>0时,函数y=ex-1-x是递增的;x<0时,函数y=ex-1-x是递减的,∴x=0时,y有最小值0.故x≠0时,y>0,即a>b.
6.2 [解析] 令f(x)=x3-6x2+9x-4,则f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
由f′(x)>0得x>3或x<1;由f′(x)<0得1∴f(x)的单调增区间为(3,+∞1),单调减区间为(1,3),∴f(x)在x=1处取极大值,在x=3处取极小值,又∵f(1)=0,f(3)=-4<0,∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点,即方程x3-6x2+9x-4=0有两个实根.
7.③④解析] 导函数的图象为抛物线,其变号零点为函数的极值点,因此③、④不正确.
8.m<0 [解析] y′=ex+m,由条件知ex+m=0有实数解,∴m=-ex<0.
9.-20且-2+a<0,因此-210.(1,2) [解析] 由f(x)=lnx+2xf′(x)=+2xln2>0(x∈(0,+∞所以f(x)在(0,+∞上单调递增,又f(x2+2)11. [解析] 由题意,g′(x)=-0在[1,+∞上恒成立,即≥0.
θ∈(0,π)sinθ>0.故sinθ·x-1≥0在[1,+∞上恒成立,只需sinθ·1-1≥0,即sinθ≥1,只有sinθ=1.结合θ∈(0,π)得θ=.
12.c>a>b [解析] 令g(x)=xf(x),则由于f(x)是r上的奇函数,所以g(x)为r上的偶函数,又当x∈(-0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,即g′(x)=f(x)+xf′(x)<0,故当x∈(-0)时,g(x)单调递减,从而g(x)在(0,+∞上单调递增.
又由于2>30.3>1,logπ3∈(0,1),log3=-2,所以g(-2)=g(2)>g(30.3)>g(logπ3),即c>a>b.
13.[解答] 证明:因为函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点,所以f′(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.
设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),当x<-3时,g′(x)>0,g(x)在(-∞3)上为增函数;
当-3当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞上为增函数.
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0且g(1)<0.
即-27+27+27+c>0且1+3-9+c<0,解得c>-27且c<5,故-2714.[解答] (1)∵f′(x)=-由题意知:即。
a=b=1.
2)证明:由(1)知f(x)=+所以f(x)-=
设h(x)=2lnx-(x>0),则h′(x)=.
当x≠1时,h′(x)<0,而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,当x∈(1,+∞时,h(x)<0.得h(x)>0,从而,当x>0且x≠1时,f(x)->0,即f(x)>.
15.[解答] (1)由》0,解得x<-1或x>1,函数的定义域为(-∞1)∪(1,+∞当x∈(-1)∪(1,+∞时,f(-x)=ln=ln=ln-1=-ln=-f(x),f(x)=ln在定义域上是奇函数.
2)由x∈[2,6]时,f(x)>ln恒成立,>>0,x∈[2,6],0令g(x)=(x+1)(7-x)=-x2+6x+7,x∈[2,6],令g′(x)≥0,即-2x+6≥0,得x≤3;
令g′(x)<0,即-2x+6<0,得x>3.
故x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,016.[解答] (1)因为f′(x)=2x-,所以切线的斜率k=f′(1)=-6,又f(1)=1,故所求切线方程为y-1=-6(x-1),即y=-6x+7.
2)因为f′(x)=,又x>0,所以。
当x>2时,f′(x)>0;
当0即f(x)在(2,+∞上递增,在(0,2)上递减,又g(x)=-x-7)2+49,所以g(x)在(-∞7)上递增,在(7,+∞上递减,欲f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则解得2≤a≤6.
3)原方程等价于2x2-8lnx-14x=m,令h(x)=2x2-8lnx-14x,则原方程即为h(x)=m.
因为当x>0时原方程有惟一解,所以函数y=h(x)与y=m的图象在y轴右侧有惟一的交点.
又h′(x)=4x--14=,且x>0,所以当x>4时,h′(x)>0;当0即h(x)在(4,+∞上递增,在(0,4)上递减.
故h(x)在x=4处取得最小值,从而当x>0时原方程有惟一解的充要条件是m=h(4)=-16ln2-24.
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