(高考数学新题型选编（共70题）2)
上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。
（2）在上恒成立，即在上恒成立，，∴即，又∵，即时，又综上，得。
易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。
故猜测：时，单调递减；时，单调递增。
3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。
如对，，此时，即。
文）已知函数，，
ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；
ⅲ）对满足（ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（ⅰ当时，若，，则在上单调递减，不符题意。
故，要使在上单调递增，必须满足，∴
ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。
又取最小值时，，依题意，有，则，且，∴，得，此时或。
满足条件的实数对是。
ⅲ）当实数对是时，
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对，此时，故。
36、有穷数列，sn为其前n项和，定义为数列的“凯森和”，
如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列。
1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和” =991 。
37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知，，求证，证明：构造函数。
因为对一切xr，恒有≥0，所以≤0,从而得，（1）若，，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。
解：（1）若，求证： (4)
2）证明：构造函数 (6)
因为对一切xr，都有≥0，所以△=≤0,从而证得：. 14)
38、已知两个向量， .
1）若t=1且，求实数x的值；
2）对tr写出函数具备的性质。
解：（1）由已知得2分。
4分。解得，或6分。
28分。具备的性质：
偶函数；当即时，取得最小值（写出值域为也可）；
单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减 ……14分。
说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分。
39、对于集合n=及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合的交替和为5。
当集合n中的n=2时，集合n=的所有非空子集为，，，则它的“交替和”的总和s2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和s3、s4，并根据其结果猜测集合n=的每一个非空子集的“交替和”的总和sn= n .2n–1不必给出证明)
40、若ab是过二次曲线中心的任一条弦，m是二次曲线上异于a、b的任一点，且am、bm均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有。
41、已知。
1）, 求的最小值。
2）p、q关于点（1，2）对称，若点p在曲线c上移动时，点q的轨迹是函数的图象，求曲线c的轨迹方程。
3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质。
由可抽象出。
由可抽象出。
等号当x=2时成立4’
2)设p(x,y)则q(2-x,4-y5’
由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x
3) h(x)=_y=2x等x)=_y=lgx等__11’
42、已知函数的最大值为正实数，集合。
集合。1）求和；
2）定义与的差集：且。
设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。
3）若函数中，， 是（2）中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。
答案：（1）∵，配方得，由得最大值3分。
6分。（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。则9分。
中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则12分。
3）由（2）知13分。
18分。43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算：a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数的值域为。
44、已知点列b1(1,y1)、b2(2,y2)、…bn(n,yn)（n∈n）
顺次为一次函数图象上的点，点列a1(x1,0)、a2(x2,0)、…an(xn,0)（n∈n）
顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈n，点an、bn、an+1构成以。
bn为顶点的等腰三角形。
求的通项公式，且证明是等差数列；
试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列的通项公式；
⑶在上述等腰三角形anbnan+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。
解：（1）(nn),yn+1-yn=,∴为等差数列 (4)
（2）xn+1-xn=2为常数 (6) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…x2n都是公差为2的等差数列，∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，∴xn= (10)
（3）要使anbnan+1为直角三形，则 |anan+1|=2=2()xn+1-xn=2()
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
2(1-a)=2() a= (n为奇数，0＜a＜1) (
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14)
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()a= (n为偶数，0＜a＜1) (取n=2，得a=,若n≥4，则(*)无解。
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、.18)
45、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。
要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。
解：（1）证：,∵a＞1，∴＞0，原不等式成立 (6)
（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽。
为a＞0且a1 (9)
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a1，m＞n＞0，则有(12)
证：左式-右式= (14)
若a＞1，则由m＞n＞0am-n＞0,am+n＞0不等式成立；
若0＜a＜1，则由m＞n＞00＜am-n＜1, 0＜am+n＜1不等式成立。(16)
46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
明文密文密文明文，现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密。
后得到明文为 14 。
47、规定a△b=，a, b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 (1,+
48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高。 这两个事实可以用数学语。
言描述为：若有限数列满足，则。
（结论用数学式子表示）.
和。49、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
2019届高考数学新题型附解析选编
1 已知之间满足 1 方程表示的曲线经过一点，求b的值。2 动点 x,y 在曲线 b 0 上学科网变化，求x2 2y的最大值 3 由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式 如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。解 14分 2 根据得5分 7分 10分 2 不能11分 如再加条件就...
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