高中部张宪存
创新是高考的主旋律，是高考改革的方向。那么高考用什么样的考题来显示高考的方向？一个题目，包括题目背景、条件、结论，以及所要考察的解决问题的基本方法、基本能力，本文就以上几个方面，对近几年高考数学试卷的创新题进行初步探索。
一、条件**型
这类题目的特点是给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的需要解题者从结论出发，通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件，并通过推理予以确认。这种条件**性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件。
例题1（2024年全国文）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足的坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y2=10x的条件是。
二、结论开放型
这类题目的特点是给出一定的条件，要求从条件出发去探索结论，而结论往往是不唯一的，甚至是不确定的，需要解题者从已知条件出发，运用所学过的知识进行推理、**或实验得出结论。
例1、（1998全国理）已知m、l是直线，α、是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；若l平行于α,则l平行于α内的所有直线；③若mα, l β,且l⊥m,则α⊥β若l β,且l⊥α,则α⊥β若mα, l β,且α∥β则m∥l.其中正确命题的序号是注：
把你认为正确的命题的序号都填上)
例2、（2001上海21）(本题满分16分)
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
ⅰ)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
ⅱ)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；
ⅲ)设f(x)＝ 现有a(a＞０)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由。
三、条件和结论都发散型
有些题目条件和结论都是不确定的，但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自已寻找结论，自己构建命题并进行演绎推理。
例1、（1999全国16）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断：①m⊥nn⊥； m⊥；以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题。
为让学生适应以上类型题目，在教学过程中要多引导学生思考，对课本上的例题、习题中的条件、结论进行“增、减、变”的思考。
四、信息迁移型
这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识，这些新知识可以是新概念，新定义，新定理和新规则，新情境，并且这些解题的信息有可能不是直接给出的，要求解题者通过观察，阅读，归纳，探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考察在新的信息，新的情景下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力。
信息迁移题，由于信息呈现的方式不同，又可分为定义信息型，图表信息型，图像图形信息型等。
五、定义信息型
例1、（2001上海22）（本题满分18分）
对任意函数f(x)，x∈d，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
输入数据x0∈d，经数列发生器输出x1＝f(x0)；
若x1d，则数列发生器结束工作；若x1∈d，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律继续下去．
现定义 .
ⅰ）若输入x0＝ ，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项；
ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
ⅲ)(理)若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n，均有
xn＜xn＋1，求x0的取值范围．
文)是否存在x0，在输入数据x0时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出x０的值；若不存在，请说明理由。
例2（2002上海22） (本小题满分18分)
对于函数f(x)，若存在x0∈r，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0).
1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图上a、b两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且a，b两点关于直线y＝kx＋ 对称，求b的最小值。
d2.图表信息型
例1、（2000全国6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪所得介于：
a）800~900元 （b）900~1200元
c）1200~1500元 （d）1500~2800元
例2、（2001上海12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图1表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图2中图示为：
d3.图形、图像信息型
例题1.（2000全国21）（本小题分满分12分）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场**得知，从二月一日起的300天内西红柿市场售价与上高时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示。
1．写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p＝ f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式q＝g(t)；
2．认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg，时间单位：天）
为让学生适应这类题目，无须过多引进中学课本以外的新知识，在学习课本内容的过程中，对学生来说也包含着信息迁移的过程，要多留一些时间、空间给学生，去获取新知识，解决新问题。
六、类比归纳型
这种题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，深入的命题，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。
例1、（2000上海12）在等差数列中，若 ，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若 ，则有等式成立。
例2、（2003全国15）在平面几何里，有勾股定理：“设△abc的两边ab、ac互相垂直，则ab2+ac2=bc2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积间的关系，可以得出的正确结论是：
“设三棱锥a-bcd的侧面abc、acd、adb两两互相垂直，则
学习课本上的定理、公式的过程中，多让学生类比、联想、推广既有助于对定理、公式的掌握，更能提高思维能力。
七、存在型
这种题型是题目给出一定的条件，让解题者去证明在给定条件下，一些给定的结论一定存在或一定不存在，或者要求解题者去判断在给定的条件下的结论是否存在。
例1、（1995全国25）设是由正数组成的等比数列，sn是其前n项和。
1．证明：
2．是否存在常数c>0,使得成立？并证明你的结论。
例2、（2000上海22）
已知复数均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数 .
1）试求的值，并分别写出和用 、 表示的关系式；
2）将( 、作为点的坐标，( 作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点 ，当点在直线上移动时，试求点p经该变换后得到的点的轨迹方程；
3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
例3、（2003全国文22）
已知常数a>0，在矩形abcd中，ab=4，bc=4a，o为 ab的中点，点e、f、g分别在bc、cd、da上移动，且 ，p为ge与of的交点（如图）。问是否存在两个定点，使p到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
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