12、函数渐近线的求法。
若，则是函数的垂直渐近线。
若，则是函数的水平渐近线。
若，则是函数的斜渐近线。
注：函数的渐近线，不管是垂直、水平还是斜渐近线都有可能是单侧的．
1、 若：，其中就说明该函数有两条水平渐近线，而非；若就只有一条水平渐近线；
2、 若不存在（或者反过来都一样），这是称该函数有一条水平渐近线，而并非没有渐近线，要和函数极限区别开来；
3、 函数的水平渐近线和斜渐近线在同一个方向上不可能同时存在；
4、 若，则是函数的垂直渐近线，不是不存在，要和函数的极限区别开来．
例1、求的渐近线。
解析：因为，的定义域是．由于，，所以有水平渐近线和垂直渐近线．
例2（数三，07年真题）、曲线渐近线的条数为（ ）
解析： ，所以是一条铅直渐近线；
所以是沿方向的一条水平渐近线；令。令。
所以是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（d）
13、一元可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论。
设，在连续，但不可导，又存在，则是在可导的充要条件．
分析：若，由定义。
反之，若存在，则必有．
用反证法，假设，则由商的求导法则知在可导，与假设矛盾．
例（数二，95年真题）：设可导，，若使在处可导，则必有。
ab）c） （d）
答案：（a）
解析：函数在处可导的充分必要条件是与存在且相等。
由于，而可导，所以在处可导等价于在可导，令，则。
于是要使在处可导，当且仅当，即。故选择（a）
14、求分段函数的导数。
求分段函数在各区间的导数与其他函数导数的求法类似，但在分界点处的导数要用导数的定义来求解或求左右导数。这类题型在历年考研中经常考到，需要熟练掌握。
例1（数一，99年真题） 设其中是有界函数，则在。
处。a）极限不存在b）极限存在，但不连续。
c）连续，但不可导 （d）可导。
答案：（ d ）
解析：由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手。
因为 从而，存在，且，故正确选项为(d).
例2（数二，98年真题） 函数的不可导点的个数是( )
a）0b）1c）2d）3.
答案：(b)
解析：设在处可导，且，则在处亦可导，所以本题讨论在哪些点不可导，只需将的点逐个讨论即可。
易见的可导性与相同。
令，则，从上述结论中可以看到在处一定可导，所以此时亦可导，接下来讨论在处的可导性。
在处， 所以在处不可导。
同理，在处，所以在处不可导。
在处，所以在处可导。
综上，在处不可导，故选(b)
例3（数二，05年真题） 设函数，则在内 (
a) 处处可导b) 恰有一个不可导点。
c) 恰有两个不可导点d) 至少有三个不可导点。
解析：分段讨论，并应用夹逼准则，当时，有，命取极限，得，，由夹逼准则得；
当时，；当时，
命取极限，得，，由夹逼准则得。
即 再讨论的不可导点。按导数定义，易知处不可导，故应选(c).
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