高数必考题型之一：求极限。
无论数学。一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单；有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起重视！
下面是求极限的16种方法：
1. 等价无穷小的转化：只能在乘除时候使用，但并不是说一定在加减时候不能用，使用前提是必须证明拆分后极限依然存在。或者等等这些要全部熟记；还有，x趋近无穷的时候还原成无穷小；
2. 洛必达法则：大题目有时候会有暗示，要你使用这个方法。
首先它的使用有严格的使用前提——必须是x趋近而不是n趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限；当然n趋近是x趋近的一种情况，也是必要条件；同时，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷；
必须是函数的导数要存在！假如告诉你g（x）,但未告诉你是否可导，直接用无疑于找死哦！！
必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要分式分母不能为0。
洛必达法则分为三种情况。
1） 0比0 无穷比无穷时直接用；
2） 0乘以无穷，无穷减去无穷，应为无穷大于无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式。通项之后即变成1中的形式；
3）0的0次方， 1的无穷次方，无穷的0次方， 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（ 这就是为什么只有三种形式的原因。两端都趋近于无穷时候它的幂移下来趋近于0，当它的幂移下来趋近于无穷的时候，趋近于0）；
3. 泰勒公式：含有次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！
展开、sinx展开、cosx展开、ln(1+x)展开，对题目简化有很好帮助；
4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法：取大头原则，最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单 ！
5. 无穷小于有界函数的处理办法：
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要**这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6. 夹逼定理：主要对付的是数列极限。这个主要是看极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大；
7. 等比等差数列公式应用：对付数列极限。q绝对值符号要小于1；
8. 各项的拆分相加： 用来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限。可以使用待定系数法来拆分化简函数；
9. 求左右求极限的方式：对付数列极限。例如知道与的关系，已知的极限存在的情况下，的极限与的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化；
10. 两个重要极限的应用：
11. 当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的：
画图也能看出速率的快)。当x趋近无穷的时候，他们的比值极限一眼就能看出来了；
12. 换元法：一种技巧，对于某一道题目，不会只需要换元， 但是换元会夹杂其中；
13. 四则运算法：假如要算的话，四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的；
14. 转化为定积分：对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。 一般是从0到1的形式 ；
15. 单调有界的性质：对付递推数列时候使用，证明单调性；
16. 直接使用求导数的定义来求极限：
一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减个值）加减f（x）的形式。遇到后要特别注意：当题目中告诉你 f(0)=0 ，的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
高数必考题型之二：利用中值定理证明等式或不等式。
证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理；不等式的证明有时可使用中值定理。其中，泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。
利用中值定理证明等式或不等式：
在证明不等式时，出现“”和“”的形式，并且在和上满足拉格朗日中值定理条件，则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“f(b)-f(a)”型，另一边出现“b-a”型，则可将不等式变形为含“”型。若同时在和上满足拉格朗日中值定理条件，则利用拉格朗日中值定理条件进行证明。若只出现“”型，则构造“”型。
例1. 证明：当时，.
分析：通过观察，不等式中“”为“”型，令，可知在上连续。当时， 在上连续， 则在区间上满足拉格朗日中值定理。
证明：由于，则有，即。
例2. ，分析：通过观察发现此不等式为“”型。令，则在区间和上满足拉格朗日中值定理的条件。
证明：,由于，则可知。
即。例3. 证明不等式：
分析：例题**现“”是“”型，此时可以考虑，在区间上的情况。
证明：设， 则在区间上连续，在开区间。
上可导，显然在区间上满足拉格朗日中值定理条件，则有：
则不等式右边。
由于，并且，则，故原不等式成立。
高数必考题型之三：利用函数单调性证明不等式。
利用函数单调性证明不等式：
单调函数是一个重要的函数类， 函数的单调性应用广泛， 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等， 并且可使许多问题的求解简单明快。下面主要讨论单调性在不等式中的应用。
定义设函数的定义域为区间如果对于区间上任意两点及， 当时， 恒有， 则称函数在区间上是单调增加的； 如果对于区间上任意两点及，当时，恒有， 则称函数在区间上是单调减少的。
定理设函数在[a,b]上连续， 在(a,b)内可导。如果在(a,b)内， 那么函数在[a,b]上单调增加； 如果在(a,b)内， 那么函数在[a,b]上单调减少。
利用函数的单调性解决不等式证明问题， 在高等数学中是经常使用的方法， 下面通过几个例子来说明。
例１ 当时， 证明：.
证明构造函数， 则。
因为时， ,即。 所以由定义知在内为严格单调减函数。
而， ,故。
例2 当时， 证明： .
证明构造函数， 则， 当x>0时，. 所以定义知在内为严格单调减函数。
故时， 即。
再构造函数， 则。
当时， 所以由有限增量公式知g(x)在时为严格单调减函数，故当时， .即。
综上所证， 当时。
高等数学必考题型之四：一元函数求导数。
求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数。
下面介绍几种常用的一元函数求导法：
一、利用定义求一些基本初等函数的导数公式（幂、指、对、三角、反三角五大类）
步骤为：1）给出自变量增量。
2）得出函数增量。
3）作商。4）求极限。
二、反函数求导法则：若函数严格单调且可导，则其反函数的导数存在且。
由反函数求导法则结合前面基本导数公式又可得。
三、复合函数求导法则：若在点可导在相应的点也可导，则其复合函数在点可导且或记为。
关于复合函数求导法则有个推广：如果一个函数有三次复合，且都是可导的，复合函数的导数为利用数学归纳法可以证明n次复合的求导原则。从公式的结构看犹如从外向内一层层地进行其结果也是系链子一样一环扣一环的连乘积，所以常把它称为链锁规则。
四、对数求导法：对于两边取对数（当然取以为底的自然对数计算更方便）。由对数的运算性质可得。
再对两边关于求导，左端是复合函数，右端是乘积与复合。
五、隐函数求导法则：若中存在隐函数，这里仅是说为一个的函数并非说一定被反解出来为显式表达。即，尽管未反解出来，只要关于的隐函数存在且可导，我们利用复合函数求导法则则仍可以求出其反函数。
六、参数方程求导：若参数表达为一个关于的函数，即，由函数规律的x，而这个值的那个要对应唯一的一个值，才能为的函数。由此可见必存在反函数，于是代入，这便是通过中间变量的关于的函数的抽象表达，（实际中未必能写出关于的反函数式子，也没必要这样做）
利用反函数求导法则和复合函数求导法则，可得。
这便是参数方程表达的关于的函数的求导公式。
七、变限积分求导：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数。
在[a,b]上可导，并且它的导数。
对于变限积分求导法常有一下情形：
1）直接用；
2）被积函数含参变量：通过变量替换，华为参变量只在积分限的情形；参变量可提出积分号外的情形；
3）双层积分号的情形。
高数必考题型之五：多元函数求偏导数。
多元函数（主要为二元函数）的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是多元复合函数，也可能是多元隐函数的求导。
首先看一下多元复合函数求偏导。
一、 全导数（复合函数中间变量是一元情形）
若函数在点可导，在点处偏导连续，则复合函数在点可导，且有链式法则。
自己可以推广一下中间变量是多于二个的情形，例如三元。
二、 二元函数复合函数求偏导（复合函数中间变量均为多元函数的情形）
设具有连续偏导数，可偏导，则复合函数可偏导，且有链式法则：
类似地，设，，则复合函数的偏导数为。
另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系及其紧密，是一个考查重点，极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
函数取得极值的必要条件：设函数在点具有偏导数且取得极值，则它在该点的偏导数必为零，即。
注：可(偏)导函数的极值点必为驻点，反过来，函数的驻点却不一定是极值点。
函数取得极值的充分条件：设函数在点的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，又 ,记， ,
则函数在处是否取得极值的条件如下。
1)、时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；
2)、时没有极值；
3)、时可能有极值，也可能没有极值，需另作判定。
对于二元函数而言，极值也是局部性质。有些实际问题，要求二元函数在某区域上的最大值和最小值。二元函数的最值点与一元函数类似，或者出现在区域的边界上，或者是函数在区域内部的驻点和不可微点。
我们只需计算出函数在驻点和不可微点的值，再与函数在区域的边界上的值相比较，便可从中找出函数的最大值和最小值。
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