2023年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试。
理科数学。第i卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．集合中含有的元素个数为。
a．4b．6c．8d．12
2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是。
abcd．
3．下列有关命题的说法中，正确的是。
a．命题“若，则”的否命题为“若，则”
b．命题“若，则”的逆否命题为真命题。
c．命题“，使得”的否定是“，都有”
d．“”是“”的充分不必要条件。
4．pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物。
右图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个pm2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是。
a．甲。b．乙。
c．甲乙相等。
d．无法确定。
5．若，则a的值是。
a．2b．3
c．4d．6
6．某程序框图如右图所示，则输出的结果是。
a．43b．44
c．45d．46
7．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a=c·b=1，，则对任意正实数t，的最小值是。
abcd．
8．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是。
a． b．
c． d．
9．过双曲线的右焦点f作实轴所在直线的垂线，交双曲线于a，b两点，设双曲线的左顶点为m，若mab是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为。
ab．2cd．
10．如下图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点c在以o为圆心的圆弧ab上，且（其中），则满足的概率为。
a． b．
c． d．
11．已知定义在r上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是。
abcd．
12．已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是。
abcd．
第ii卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题后的横线上。）
13．已知i为虚数单位，则复数的虚部是。
14．已知函数，若是的一个单调递增区间，则的值为。
15．给出下列不等式：，，则按此规律可猜想第n个不等式为。
16．在abc中，a=30°，bc=，d是ab边上的一点，cd=2， bcd的面积为4，则ac的长为。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
已知为等比数列，，。为等差数列的前n项和，，。
（1）求和的通项公式；
（2）设，求。
18．（本小题满分12分）
哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若干。根据以往对500名40岁以下（含40岁）人员和500名40岁以上人员的统计调查，有如下一系列数据：40岁以下（含40岁）人员购买热饮等食品的有260人，不购买热饮等食品的有240人；40岁以上人员购买热饮等食品的有220人，不购买热饮等食品的有280人。
请根据以上数据作出2×2列联表，并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄（按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？
注：要求达到99.9%的把握才能认定为有关系。
附： 19．（本小题满分12分）
已知斜三棱柱abc—a1b1c1的底面是正三角形，侧面abb1a1是菱形，且∠a1ab=60°，m是a1b1的中点，mb⊥ac。
（1）求证：mb⊥平面abc；
2）求二面角a1—bb1—c的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆m的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若点m的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，m的离心率，过m的右焦点f作与坐标轴垂直的直线l，交m于a，b两点。
（1）求椭圆m的方程。
（2）设点n（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知函数在x=1处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。
（1）求实数k的取值范围；
2）若对于任意，存在k，使得，求证。
请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲。
如图，⊙o1与⊙o2相交于a，b两点，ab是⊙o2的直径，过a点作⊙o1的切线交⊙o2于点e，并与bo1的延长线交于点p，pb分别与⊙o1、⊙o2交于c，d两点。
求证：（1）pa·pd=pe·pc
（2）ad=ae
23．（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程。
在极坐标系中，曲线l：，过点（为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线l分别交于b，c两点。
（1）以极点为原点，极轴为x的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线l和直线l的普通方程；
（2）求的长。
24．（本小题满分10分）
已知关于x的不等式（其中）。
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围。
2023年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试。
理科数学参***。
一、选择题：
二、填空题：
13． 14． 15． 16．或
三、解答题：
17．（ⅰ3分） （6分）
得9分）整理得12分）
18． 由题得列联表。
4分）10分）
所以没有99.9％的把握认定为有关系12分）
19．（ⅰ侧面是菱形且∴为正三角形。
又∵点为的中点 ∴
由已知∴平面4分）
（ⅱ）法一）连接，作于，连接。
由（ⅰ）知面，∴
又∴面∴为所求二面角的平面角 （8分）
设菱形边长为2，则。
在中，由知：
在中， ∴即二面角的余弦值为12分）
（法二）如图建立空间直角坐标系。
设菱形边长为2 得，
则，设面的法向量，由，得。
令，得8分）
设面的法向量， 由，得。
令，得10分）
得。又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为 （12分）
20．（ⅰ椭圆的标准方程4分）
（ⅱ）设，，设。
由韦达定理得6分）
将，代入上式整理得：，由知，将①代入得10分）
所以实数12分）
由及得2分）
设，得4分）
ⅱ），令。的增区间为，故当时，.
即，故6分）
法一)由于，故只需要证明时结论成立。
由，得，记，则。
则，设，，
为减函数，故为减函数。
故当时有，此时，为减函数。
当时，为增函数。
所以为的唯一的极大值，因此要使，必有。
综上，有成立12分）
法二） 由已知。
下面以反证法证明结论：
假设，则，因为，，所以，又，故。
与①式矛盾。
假设，同理可得。
与①式矛盾。
综上，有成立12分）
22．（ⅰ分别是⊙的割线2分）
又分别是⊙的切线和割线4分）
由①，②得5分）
ⅱ）连结、设与相交于点。
是⊙的直径。
是⊙的切线。 （6分）
由（ⅰ）知8分）
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