作者:李进龙。
**:《科教导刊·电子版》2023年第05期。
摘要 ,利用matlab软件对模型进行求解,对求解结论进行分析,并对模型的优缺点进行评价。
关键词埃博拉病毒 sir模型微分方程模型。
中图分类号:r373.9 文献标识码:a
1病毒传播模型的假设。
对于一种新型病毒,在没有药物干预和防治的情况下,病情的蔓延是相当迅速的。在应对新型病毒时,医疗卫生部门通常会采取隔离病患,药物**等措施。一般情况下,采取药物**对控制疫情扩散有显著效果。
针对病情扩散情况,**可以决定适当的隔离时间和药物投放比例。
首先,我们假设所考察人群总数恒定,且无病源的输入和输出;已**的患者二度感染的概率为0;所有患者均为“他人输入型”患者;各类人群在人群总体中分布均匀;已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。
2问题分析与模型建立。
我们把人群分为4类:正常人群、患病人群、**人群和死亡人群,分别用h(t)、x(t)、r(t)和d(t)表示。在新病毒爆发初期,由于整个社会对新病毒传播速度和危害程度认识不够,没有采取任何有效的隔离控制措施,疫情会不断蔓延。
病毒的传播规律分为“控前”和“控后”两个阶段。控前模型为近乎自然传播的模型,控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型。
基于以上分析,我们对控前和控后分别建模。设t为实施强力控制的时间(以d为单位)。当t
2.1控前模型。
假设某地区产生第一例病例的时间为t0,在(t0,t)时段,是近乎自由传播的时段,隔离强度为0,每天感染病人人数r为常数。现在考虑在t到t+△t这段时间内这4类人群的变化情况,并通过分析各类人群的状态转化关系,来建立微分方程模型。
1)现有病人数。现有病人数是指在某一时间段内考察人群中所有确诊病人数。现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+**人数)。
我们设r为每个未被隔离的病人单位时间的人数,和分别为**率和死亡率。
当△=t→0时,有:=rx(t)-(l1+l2)譞(t)
2)累计死亡人数。累计死亡人数的变化=新增死亡人数,有d(t+△t)-d(t)=l1x(t)△t
当△=t→0时,有:=l2x(t)
3)累计**人数。累计**人数的变化=新增**人数,有。
r(t+△t)-r(t)=l2x(t)△t
当△=t→0时,有:=l2x(t)
4)累计病人数。累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计**人数,有y(t)=x(t)+d(t)+r(t)
综上所述,我们得到埃博拉传播的控前模型:
其中,初始值为:
2.2控后模型。
控后隔离强度从控前的0变为p。未被隔离的病人平均每人单位时间感染的人数r随时间逐渐变化,它从初始的最大值a+b逐渐减少至最小值a,a、b的值客观存在。设每个被隔离的病人单位时间感染的人数为r(t)=a+be-%d(t-t)。
其中,用来反映r(t)的变化快慢。类似于控前模型,我们得到埃博拉传播的控后模型:
其中,3模型的求解。
3.1控前模型求解。
对于现有病人数x(t),可以根据病毒传播的控前方程式,求得解析解为x(t)=x(0)e(r-l1-l2)t,t≤t
其中,再将x(t)分别代入病毒传播的控后方程,就可以给出d(t),r(t)以及y(t)的数值解。
3.2控后模型的求解。
同理,我们求得现有病人数的解析解为。
x(t)=x(t)e,t≥t
其中。查阅资料,取p=65%,%d=0.02。
4求解结果分析与评价。
4.1模型的优点。
1)对新型病毒疫情分别建立了控前、控后模型,并根据以往疫情统计数据估计参数,建立病人数随时间变化的一元函数。(2)微分方程稳定性较好,给出模型收敛性条件,对**的决策有指导意义。(3)针对不同隔离强度进行分段研究,能够方便有效地**疫情趋势,欲对某疫区进行**,只需对参数进行估计,给出初值带入方程即可。
4.2模型的缺点。
1)微分方程中参数估计稍显简单,可对病毒进行分类,针对不同新型病毒,得到更准确的模型。(2)给出的模型忽略性别、年龄及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响。
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