一、函数的定义(概念)
一、映射,一一映射,单射和满射。
1、单射:设f是由集合a到集合b的映射,如果x,y∈a,且x≠y等价于f(x)≠f(y),则称f为由a到b的单射。可理解成“源不同则像不同”。
2、满射:值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下:
若函数为满射,则对任意b,存在a满足f(a) =b。
二、函数的三要素:定义域,值域,对应关系。
2.(2007广东理1)已知函数的定义域为m, g(x)=ln(1+x)的定义域为n,则m∩n =(
a. b. c. d.
26、(湖北文5分)5.函数的定义域为。
ab. cd.
的定义域和值域。
求。二、函数的单调性。
一、定义。二、判断单调性的方法:
1)定义法:①在给定的区间上任取,,且设;② 作差;③定号下结论;
2)作商法:
若为区间上的单调递增函数,、为区间内两任意值,那么有:
或。若为区间上的单调递减函数,、为区间内两任意值,那么有:
或。3)复合函数的单调性:对于函数和,如果函数在区间上具有单调性,当时,且函数在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性。同增异减。
4)由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断:
对于两个单调函数和,若它们的定义域分别为和,且:
1)当和具有相同的增减性时,函数的增减性与(或)相同,、、的增减性不能确定;
2)当和具有相异的增减性时,我们假设为增函数,为减函数,那么:
增函数,的增减性不能确定;
5)导数法:对y=f(x)求导
三、复合函数的定义域,值域,单调性。
四、导数。1、定义。
问:,2、几何意义。
3、基本初等函数的导数公式。
求切线方程时,把在某点处的切线与过某点的切线混淆。
求函数在图像上某点处的切线方程是导数的重要应用之一。当点p在曲线上时,求过点p的切线方程有以下两种可能的情形:一是p点就是切点,二是切线以曲线上另一点为切点,但该切线经过点p。
注意:曲线在点p的切线,只指前一种情形。
4、复合函数的导数公式。
例题:5、利用导数判断函数的单调性。
求的单调区间求的单调区间。
注意:,但。
但。例3 求函数的单调递增区间。
错解:由题意,得令得解得。
又∵函数的定义域是(0,+∞函数的单调递增区间是(0,1)和(1,+
剖析:对于的解集中的断开点的连续性,我们要进行研究,不能草率地下结论。此题就是错在对函数在x=1处是否连续没有进一步研究,显然函数在x=1处是连续的,所以函数的单调递增区间是(0,+
正确答案:(0,+
五、反函数。
其实如果a→b是一一映射,那么就存在b→a的逆映射,且该映射亦为一一映射。这两个映射也是原函数和反函数对应的两个映射
一般来说,若一个函数具有严格的单调性,则该函数的定义域与值域之间存在一一映射关系。
一个函数的反函数存在的条件:若函数在定义域内单调,则该函数在此定义域内存在反函数,且唯一。
反函数的求法:(1)互换x,y(2)用x来表达y
原函数和反函数的性质:
1)原函数的定义域为饭函数的值域。
2)原函数的值域为饭函数的定义域。
3)原函数与反函数的图像关于y=x对称。
4)原函数与反函数的单调性相同。
反三角函数的图像和性质。
三、函数的奇偶性。
一、关于函数的奇偶性的定义。
定义说明:对于函数的定义域内任意一个:
是偶函数;奇函数;
函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。
二、关于函数按奇偶性的分类。
全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的几个性质。
、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称, 且函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件。
、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;
、可逆性: 是偶函数;
奇函数;、等价性:
、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;
注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k≠0)的相关性;
(2)若函数是奇函数,且在处有定义,那么
3)任何一个定义域关于原点对称的函数,都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式。
例的定义域关于原点对称,则为偶函数,
为奇函数,且。
四、函数的奇偶性的判断。
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:
第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、相等,判断步骤如下:
1、 定义域是否关于原点对称;
2、 数量关系哪个成立;
例1:判断下列各函数是否具有奇偶性。
解:⑴为奇函数为偶函数为非奇非偶函数
为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数。
注:教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2:判断函数的奇偶性。
第二种方法:
求两个函数加(减)、积是否为奇偶函数时,首先应该求两函数的定义域,再判。
断两函数的定义域交集是否关于原点对称。在判断两函数定义域关于原点对称后可。
以利用以下结论:
两个奇函数的和是奇函数;
两个偶函数的和是偶函数;
两个奇函数的积是偶函数;
两个偶函数的积是偶函数;
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数。
一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 f(x)是任意函数,那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
此命题错误。一方面,对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x);另一方面,对于一个任意函数f(x)而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数f(|x|)是偶函数。
命题3 如果函数f(x)满足:|f(x)|=f(-x)|,那么函数f(x)是奇函数或偶函数。
此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看,f(x)的图像既不关于原点对称,也不关于y轴对称,故此函数非奇非偶。
命题4的定义域关于原点对称, 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数。
此命题正确。由函数奇偶性易证。
命题5 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
命题6 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根。
此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则f(-x0)=0。
对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0。故原命题成立。
五、关于函数奇偶性的简单应用。
1、利用奇偶性求函数值。
例1:已知且,那么。
2、利用奇偶性比较大小。
例2:已知偶函数在上为减函数,比较,,的大小。
3.利用奇偶性求解析式。
例3:已知为偶函数,求的解析式?
4、利用奇偶性讨论函数的单调性。
例4:若是偶函数,讨论函数的单调区间?
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性。
例5:已知函数是偶函数,判断的奇偶性。
6、利用奇偶性求参数的值。
例6:定义在r上的偶函数在是单调递减,若,则的取值范围是如何?
7、利用图像解题。
例7(2004.上海理)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式的解是。
8.利用定**题。
例8.已知函数,若为奇函数,则___
四、周期性。
一、定义:对于函数,如果存在一个非零常数t,使得当取定义域内的每一个值时,都有,则为周期函数,t为这个函数的周期。
二、函数的周期性的主要结论:
结论1:如果(),那么是周期函数,其中一个周期。
结论2:如果(),那么是周期函数,其中一个周期。
结论3:如果定义在上的函数有两条对称轴、对称,那么是周期函数,其中一个周期。
结论4:如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期。
结论5:如果奇函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期。
结论6:如果函数同时关于两点、()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期。
结论7:如果奇函数关于点()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期。
结论8:如果函数的图像关于点()成中心对称,且关于直线()成轴对称,那么是周期函数,其中一个周期。
结论9:如果或,那么是周期函数,其中一个周期。
结论10:如果或,那么是周期函数,其中一个周期。
结论11:如果,那么是周期函数,其中一个周期。
五、函数的对称性:
一、函数自对称。
1)关于轴对称的函数(偶函数)的充要条件是。
2)关于原点对称的函数(奇函数)的充要条件是。
3)关于直线对称的函数的充要条件是(反函数为本身)
二、两个函数的图象对称性。
1)与关于轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
2)与关于轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
3)与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
4)与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
5)关于点对称。
换种说法:与若满足,即它们关于点对称。
6)与关于直线对称。
7)与关于直线对称。
六、基本初等函数:指数,对数,幂函数。
一、指数函数。
二、对数函数。
换底公式。三、幂函数。
七、函数的应用:
一、函数与方程。
1、方程的根与函数的零点。
2、用二分法求方程的近似解。
二、函数模型及其应用。
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