2023年上海数学试卷（文史类）
考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一、 填空题（本大题满分48分）
1．函数的最小正周期。
2．若是方程的解，其中，则。
3．在等差数列中，，，则。
4．已知定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标是。
5．在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线与所成角的大小等于结果用反三角函数值表示）
6．设集合，则集合且。
7．在中，，则结果用反三角函数值表示）
8．若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项，公比的一组取值可以是。
9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为结果用分数表示）
10．方程的根结果精确到0．1）
11．已知点、、，其中的为正整数．设表示外接圆的面积，则。
12．给出问题：、是双曲线=1的焦点，点在双曲线上．若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或．
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内。
二．选择题（本大题满分16分）
13．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是。
a） （b） （c） （d）
14．在下列条件中，可判断平面与平行的是。
（a）、都垂直于平面。
（b）内存在不共线的三点到的距离相等。
（c），是内两条直线，且，
（d），是两条异面直线，且，，，
15．在、、和四点中，函数的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点。
（a） （b） （c） （d）
16．是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数，的叙述正确的是。
（a）若，则函数的图象关于原点对称。
（b）若，，则方程有大于2的实根。
（c）若，，则方程函数的图象关于轴对称。
（d）若，，则方程有三个实根。
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分12分)已知复数，，求的最大、最小值．
18．(本题满分12分) 已知平行六面体中，平面，，．若，直线与平面所成的角等于30°．
求平行六面体的体积．
19．(本题满分14分)
已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．
20．(本题满分14分)第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4．5米，隧道全长2．5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧。
道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以。
高．本题结果精确到0．1米）
21．(本题满分16分)第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点．已知，且点的纵坐标大于零．
1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求的取值范围．
22. (本题满分18分)第1小题满分4分，第2小题满分8分． 第3小题满分6分．
已知数列（为正整数）是首项是，公比为的等比数列．
（1）求和：；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。
（3）设，是等比数列的前n项和，求：
2023年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文史类）答案。
一、（第1题至第12题）
1．π.2．. 3．－49 . 4．. 5．arctg2. 6．[1,3].
7． 8．的一组数）. 9．
10．2.6 . 11．4π 12．|pf2|=17.
二、（第13题至第16题）
三、（第17题至第22题）
17．[解]
故的最大值为最小值为。
18．[解]连结bd，因为b1b⊥平面abcd，b1d⊥bc，所以bc⊥bd.
在△bcd中，bc=2，cd=4，所以bd=.
又因为直线b1d与平面abcd所成的角等于30°，所以。
b1db=30°，于是bb1=bd=2.
故平行六面体abcd—a1b1c1d1的体积为sabcd·bb1=.
19．[解]x须满足。
所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有。
所以是奇函数。
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1得》0，即在（0，1）内单调递减，由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减。
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点p（11，4.5）， 椭圆方程为。
将b=h=6与点p坐标代入椭圆方程，得。因此隧道的拱宽约为33.3米。
2）由椭圆方程，得。
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小。
解二]由椭圆方程，得于是。
得以下同解一。
21．[解]（1）设得。
所以v－3>0,得v=8,故=.
2）由=，得b（10，5），于是直线ob方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为。
设圆心（3，－1）关于直线ob的对称点为（x ,y）则。
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10．
3）设p (x1,y1), q (x2,y2) 为抛物线上关于直线ob对称两点，则。
故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线ob对称的两点。
22．[解]（1）
2）归纳概括的结论为：
若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则。
3）因为。
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