中国农业大学。
2013~2014学年春季学期。
线性代数（b）课程考试试题答案（2014.6.19）
1．设3阶行列式第三行的元素分别为，对应的余子式分别为，则行列式 -3 ．
2．设阶矩阵与相似，且，则的一个特征值为。
3．设，矩阵的秩为3，且，，则方程组的通解为 ．
4. 设是某齐次线性方程组的基础解系，，则是线性__ 无关_（相关、无关）的．
5. 若为正定二次型，则的取值范围．
1．为均为阶方阵，则【 d 】．
(a) 9； (b) 3； (c) -3d) -9．
2. 矩阵，则矩阵的秩为【 b 】．
a)； bcd).
3．若向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是【 d 】．
(ab(cd)．
4. 设是一个阶矩阵，下列陈述中正确的是【 b 】．
a）如果存在数和向量，使得，则向量是的属于特征值的特征向量；
b）如果存在数和非零向量，使得，则是的特征值；
c）矩阵的两个不同的特征值可以有同一个特征向量；
d） 如果是的3个互不相同的特征值，是的属于的特征向。
量，则线性相关．
5. 设矩阵a为矩阵， 矩阵b为矩阵，则线性方程组【 b 】．
a) 当时仅有零解； (b) 当时必有非零解；
(c) 当时仅有零解； (d) 当时必有非零解．
三、（本题满分14分）设阶矩阵。
5阶矩阵，计算行列式．解。
四、（本题满分10分）已知矩阵a的伴随矩阵，且，求矩阵b.
解：法一：由，得。
当时， 由得。
从而。当时。
法二：由，，得，由，得。
当时。五、(本题满分14分)
1．向量组且的秩为2，1）求；
2）求向量组的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示．
解：由的秩为2得，a=1,b=1
为向量组a的一个最大无关组。
则。2.求方程组的通解．
解：对方程的增广矩阵做行初等变换得。
由上，方程组有无穷多解，方程组的通解为。
六、（本题满分12 分） 已知二次型。
的秩为2；1. 求a的值；
2. 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
解：二次型的矩阵为。
1. ，因为二次型的秩为2，所以a =5;
2. 矩阵的特征多项式。
所以的特征值。
对于，所对应的齐次线性方程，求得它的一个基础解系为。
再单位化。
对于，所对应的齐次线性方程，求得它的一个基础解系为。
再单位化。
对于，所对应的齐次线性方程，求得它的一个基础解系为。
再单位化。
正交矩阵为：，且，
所以正交变换为。
得二次型标准型。
七、（本题满分8 分）已知为维实向量，且线性无关，已知是线性方程组：的一个非零解，证明：向量组线性无关．
证明：设存在常数，使得。
因为方程组可写成且是方程组的非零解，则有，即。
因此在等式（*）左右两端和向量做内积，可得。
即，可得。因此（*）式可写成。
又因为线性无关，有。
因此，可得向量组线性无关。
八、（本题满分12分，第1题6分，第2题6分）
1.设为4阶方阵，矩阵秩为2，且。
1） 求矩阵的特征值；
2） 矩阵是否可相似对角化？为什么？
解：因为矩阵秩为2，所以-2为矩阵的2重特征值，
且的列向量中有两个线性无关的向量正好是对应的线性无关的特征向量；
则-1，2都是矩阵的单特征值。
矩阵a的特征值为 -1,2,-2,-2
a矩阵存在4个线性无关的特征向量，因此可对角化；
2.已知实矩阵满足，且，其中是的代数余子式，证明。
证明：由知。
两边取行列式，得，所以，
又将按第一行展开，得，因为，所以。
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