2023年泉州市普通高中毕业班质量检查。
理科数学。本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题），第ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题。本试卷共6页，满分150分。考试时间120分钟。
参考公式：
样本数据、、…的标准差：
其中为样本平均数；
柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；
锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；
球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径。
第ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1. 复数等于。
a． b． c． d．
2. 已知集合，，则等于。
a. b. c. d.
3. 已知，则等于。
a． b． c．5 d．25
4. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的值为，那么判断框中实数的取值范围是。
a． b．
c． d．
5. 下列四个条件：，均为直线； ②是直线，是平面；
是直线，，是平面；④，均为平面。
其中，能使命题“”成立的有。
a．1个b．2个c．3个d．4个。
6. 已知实数满足则的最大值是。
a．5b．-1c．2d.
7. 已知二次函数，则“”是“函数在单调递增”的。
a．充要条件b．充分不必要条件
c．必要不充分条件d. 既不充分也不必要条件
8. 已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为。
abcd．
9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：
1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，……100；
2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
3）请下列两类学生举手：（ⅰ摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ摸到红球且不喜欢数学课的学生。
如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是。
a.88b. 90c. 92d.94%
10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象。若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是。
ab． cd．
第ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置。
11. 已知等差数列中， ,则。
12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为。
13. 在中，，则周长的最大值为。
14. 已知，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为。
15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系。 诗中有回文诗，如：
“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；
三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；
四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；
由此推测：10位的回文数总共有个。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分13分)
已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离。
ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程。
ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？
17.（本小题满分13分）
将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，其中顶点与坐标原点重合。记边所在直线的倾斜角为，已知。
ⅰ）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）；
ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离” ，并用符号表示。试求的最大值。
18.（本小题满分13分）
已知等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为。
ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；
ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望。
19. （本小题满分13分）
如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，是侧棱上的动点。
ⅰ）当时，求证：；
ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；
ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值。
20.（本小题满分14分）
已知，，，ⅰ)请写出的表达式（不需证明）；
ⅱ)设的极小值点为，求；
ⅲ)设，的最大值为，的最小值为，试求的最小值。
21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。
作答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。作。
1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换。
若二阶矩阵满足。
ⅰ）求二阶矩阵；
ⅱ）把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程。
2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程。
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为。
ⅰ）求曲线c的普通方程并说明曲线的形状；
ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线c有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由。
3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲。
已知函数的最小值为，实数满足。
ⅰ）求的值；
ⅱ）求证：．
参考解答及评分标准。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1． a 2．b 3．c 4．a 5．c
6． d 7．c 8．d 9．b 10．c
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．
解：（ⅰ因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线2分。
其方程为5分。
ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线。设直线与轨迹交于，依题意，得。 …6分。
当直线的斜率不存在时，不合题意。 …7分。
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，……8分。
联立方程组，消去，得9分，解得10分。
此时，方程（*）为，其判别式大于零， …11分。
存在满足题设的直线12分。
且直线的方程为：即13分。
解法二：假设存在满足题设的直线。设直线与轨迹交于，依题意，得。 …6分。
易判断直线不可能垂直轴， …7分。
设直线的方程为，……8分。
联立方程组，消去，得， …9分，
∴直线与轨迹必相交。 …10分。
又11分。存在满足题设的直线12分。
且直线的方程为：即13分。
解法三：假设存在满足题设的直线。设直线与轨迹交于，依题意，得。 …6分。
在轨迹上，有，将，得。 …8分。
当时，弦的中点不是，不合题意， …9分，即直线的斜率， …10分。
注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）…11分。
存在满足题设的直线12分。
且直线的方程为：即13分。
17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．
解：（ⅰ解法一：因为，， 2分。
所以3分。7分。
解法二：平移到（移到，移到），…2分。
由的坐标与的坐标相等，都等于点的坐标。 …3分。
由平几知识易得直线的倾斜角为，，∴根据三角函数的定义可得，所以。 …7分。
ⅱ）解法一：，…8分。
9分。 ……11分。
12分。所以当时，取得最大值。 …13分。
解法二：，…8分，∴，即，. 9分，∴，10分。
2019泉州5月质检卷理科解析版
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2023年泉州市3月质检理科数学
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