数学理工农医类（北京卷）
考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分。
第一部分（选择题共40分）
1.若集合，则= (
a. b. c. d.
2.若等比数列满足，则公比为。
a．2b．4c．8d．16
3.设集合a＝，b＝，分别从a、b中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )
a．24个b．48个c．64个d．116个。
4.在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )
ab. cd.2
5.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是
a．8b．5
c．3d．2
6.若，且函数在处有极值，则的最大值等于。
a．2b．3
c．6d．9
7. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量m（单位：
太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中m0为t=0时铯137的含量。
已知t=30时，铯137含量的变化率是-10in2（太贝克／年），则m（60）=
a．5太贝克b．75in2太贝克。
c．150in2太贝克d．150太贝克。
8.对实数和，定义运算“”：设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
a．(－2]∪ b．(－2]∪
cd. 第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
10.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为___
11.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ，该双曲线的离心率是 .
12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是___
13.如图，ab是半圆的直径，c是ab延长线上一点，cd切半圆于点d，cd=2，de⊥ab，垂足为e，且e是ob的中点，则bc= ．
14.设e=、f=是直角坐标平面上的两个点集，则集合g=所组成的图形面积是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题满分13分）
已知向量，，
)若，求的值；
)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围。
16．（本小题满分13分）
如图5，正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．
）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
）求二面角的余弦值；
）**段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
17.(本题满分13分)
某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47
）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；
）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成。
一、二两个等级，每个等级按不同的****。某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗。已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半，求该市绿化部门此次采购所需资金总额的分布列及数学期望值www.
xkb
18.（本小题满分13分）
已知函数，其中。
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
ⅲ）设，求在区间上的最大值。（其中为自然对数的底数）
19.（本小题满分14分）新课标第一网。
已知椭圆的右顶点为，上顶点为。
ⅰ）直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时，求点的纵坐标的最大值；
ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分14分）
设数列满足。
）求数列的通项公式；
）设记证明：sn＜1.
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