初中数学竞赛辅导（7.24）
n次的多项式：
上式即为著名的插值恒等式，它在多项式理论中所起的作用是鲜为人知的，下面举一些竞赛真题中的应用。
例题1：若f(x)是四次多项式，且f(0)=f(2)=f(4)=0, f(1)=f(3)=2,求f(x)
解： 例题2：设多项式f(x)被x-1,x-2,x-3除后，所得的余数分别为2,5,8，试求f(x)被。
x-1)(x-2)(x-3)除后的余式。
解：设，由已知条件知：r(1)=2,r(2)=5,r(3)=8,由拉格朗日插值公式有：
例3：已知：
解：取。比较两边，得。
一般得：设个数，其中。
解：由拉格朗日插值公式：
比较的系数，得
,对任意整数x, p(x)均取整数值（2024年全苏数学奥林匹克竞赛题）
我们来证明一般情形。
当x取连续n+1整数时，多项式都取整数值，则对任一整数x,f(x)均取整数值。
证：设当x取n+1个连续整数。
则由拉格朗日公式。
比较，中依次取。
取。根据此结论很容易解决美国数学邀请赛一道方程题：
正是拉格朗日恒等式能发挥作用的时候了，将多项式。
比较。原不等式得证！。
利用拉格朗日恒等式可以得到一些有趣的恒等式。
注：上述结论是欧*乔*马特里克博士在某天的傍晚发现的。
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