北京市房山区2024年高三第一次模拟试题。
高三数学(理科)
第i卷选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合。
2.如果，那么“∥”是“”的。
3.如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，则=( a）b）
c）d）
4.在平面直角坐标系中，点的直角坐标为。若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是 （
5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为。
a）5b）6
c）7 是。
d）8否。6.已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是( )
7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )
8.如图，边长为1的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大。
值是 （ a）b） c）
d）4第ii卷非选择题(共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。
9.是虚数单位，则__.
10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
11．已知函数（>0, ）的图象如图所示，则__，
12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种。
13.设是定义在上不为零的函数，对任意，都有，若，则数列的前项和的取值范围是 .
14. 是抛物线的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则：①若且，则的值为；②（用和表示）.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）已知的三个内角，，所对的边分别是，，，
ⅰ）求的值； （求的面积。
16.（本小题共13分）
今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
i）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
ii）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望。
17.（本小题共14分）在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点。
i）求证：平面；
ii)若//平面，试确定点的位置，并给出证明；
iii)求二面角的余弦值。
18．（本小题共13分）已知函数．
i）当时，求函数的单调递减区间； （ii）求函数的极值；
iii）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
19.（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．
i）求椭圆的方程；
ii）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．
20．（本小题共13分）在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．
i）求点的坐标；
ii）设抛物线列，中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；
iii）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式．
北京市房山区2012高三第一次模拟试题参***。
高三数学(理科)
一、选择题（每题5分，共40分）
二、填空题（每题5分，共30分）
14. ①或。
三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）
15．（本小题共13分）
解：（i）解。
5分。ii）由（i）知7分
13分。16．（本小题共13分）解：（i）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则。
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为。
ii）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为。所以6分。
11分。随机变量的分布列为：
12分。所以………13分。
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为5分。
则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～.…7分。
随机变量的分布列为：
所以13分。
17．（本小题共14分）(i) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，1分， ∴平面 ……2分。
平面∴，即 ……3分。
又 ∴平面 ……4分。
（ii）当是棱的中点时，//平面。……5分。
证明如下：连结，取的中点h，连接，
则为的中位线 ∴∥6分。
由已知条件，为正方形∴∥，为的中点7分。
∥，且 ∴四边形为平行四边形。
∥又 ∵ 8分∴//平面 ……9分。
iii) ∵直三棱柱且。
依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……10分，则，设平面的法向量，
则，即，令，有 ……12分。
又平面的法向量为，13分。
设二面角的平面角为，且为锐角14分。
18．（本小题共13分）解：（i）依题意，函数的定义域为，
当时2分。由得，即解得或，又，的单调递减区间为4分。
ii），1）时，恒成立在上单调递增，无极值。 …6分。
2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而9分。
iii）由（ii）问显然可知，当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点10分。
当时，由（ii）问知，又，为的一个零点．……11分。
若在恰有两个零点，只需。
即13分。注明：如有其它解法，酌情给分）
19．（本小题共14分）
解：（i）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为。
故，而，解得，……4分故所求椭圆的方程为。 …5分。
ii）设，p为弦mn的中点，由得 ，直线与椭圆相交，7分。
从而，1）当时 (不满足题目条件)，则 ，即9分。
把②代入①得 ，解得10分。
由②得，解得．故11分。
2）当时 ∵直线是平行于轴的一条直线13分。
综上，求得的取值范围是14分。
20．（本小题共13分）解：（i2分。
3分。ii）的对称轴垂直于轴，且顶点为。设的方程为5分。
把代入上式，得，的方程为7分。
当时，9分。
iii），t中最大数10分。
设公差为，则，由此得。
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