2023年全国**高考专升本高等数学（一）内部押题绝密卷。
1、选择题。
1.当时，与比较，可得（是较低阶的无穷小量）。
解析：因为，所以是较
低阶的无穷小量。
2.设，则。
解析：因为；再由导数定义知：
3.平面与空间直线的位置关系是（直线在平面上）。
解析：平面的法向量，直线的方向向量。因为，所以直线与平面平行，又点满足平面方程（即直线上的点的平面上），因此直线在平面上。
4.极限。解析：注意所给极限为，它不是重要极限的形式，由于，即当时，为无穷小量，而sin2x为有界函数，利用无穷小量性质可知。
5.设且存在，则。
解析：次极限属于型，可用洛必达法则，即。
6.设函数，则不定积分。
解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个数”。
7.设，则。
解析：在两侧关于求导数，有。
8.函数在处连续是在处极限存在的（充分非必要条件）
解析：函数在处连续，则在处极限存在。但反过来却不行。
如函数。9.设为连续，二次积分交换积分次序后等于。
解析：11.点关于平面的对称点是。
解析：关于平面对称的两点的横坐标互为相反数。
12.曲线的拐点是。
解析：令得。因为在左侧，在右侧，所以，为拐点。
13.函数的单调递减区间为。
解析：令，导数。
令。分界驻点为，且在处无定义。
当时，左侧，单调递增，右侧（到x=0单调递减；
当时，左侧（到x=0），单调递减，右侧单调递增。
所以，在内函数为减函数。
14.设函数，则。
解析：因，15.设，则。
解析：由可知应考虑将化为导数定义的等价形式，16.设，则为。解析：
17.设函数，则不定积分。
解析：，令，则。
18.极限。
解析：因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限。
原式。19.当时，是的等价无穷小量，则=1
解析：由等价无穷小量的概念，可知。
20.设函数，则。
解析：因，故。
2、填空题。
1.极限。解析：因为所求极限中的的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于，即当时，为无穷小量，而为有界函数，利用无穷小量性质知。
2.已知由方程确定函数，则。
解析：在两侧关于求导数，得，，也就是。
3.设在点处可导，且在点处取得极小值，则曲线在点处的切线方程为。
解析：在点处可导，且有极小值，这意味着为的极小值点。由极值的必要条件可知，必有，因此曲线在点处的方程为，即为所求切线方程。
4.设在处连续，且，则。
解析：由题设条件，有，则。
解析：解析：由于积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，因此。
解析：8.过点且与直线垂直的平面方程为。
解析：因为直线的方向向量。平面与直线垂直，所以平面的法向量。由点法式方程有平面方程为。
9.已知当时，与是等价无穷小，则2
解析：当时，与等价，应满足。
而。10.微分方程的通解为。
解析：分离变量：。 两端分别积分：。
11.函数的极小值点是（3,3）
解析：令，解得驻点为（3,3），（0,0）。
。当时，且，所在（3,3）处取得极小值。
当时，所以点（0,0）不是的极值点。
12.方程的通解为。
解析：由方程知它的特征方程为，所以，因此通解为。
13.设，则。
解析：由于，求时，只需将认定为常量，因此将对求偏导数得0，故。
14.函数的极大值点是。
解析：令，解得驻点为。
则有；有极值且，有极大值，所以为。
15.直线，的方向向量为。
解析：直线的方向向量为。
解析：特征方程为，解得：
则。所以通解为（其中为任意常数）。
17.，求。
解析：，则，所以。
18.设则。
解析：由导数定义有。
解析：由。令，则原式。
20.设，则。
解析：因为，而；
所以。3、解答题。
1.已知直线l：，平面，试确定的值，使得直线l在平面上。
解：要使直线l在平面上，只要l平行于，且有一点在上即可。
l 的方向向量为，的法线向量为，由l平行于得。
即 又为l上的点，把此点的坐标代入的方程得。
联立解得。2.计算。
解：令。当时，；当时，。
则有：。3.求极限。
解：4.设，求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
解：由，可知水平渐近线。
由，可知为铅直渐近线。
5.设，求。
解：令，所以。
6.证明方程在区间（0,1）内有唯一的实根。
证明：令，则在区间上连接。
由于，所以。又，根据连续函数的介值定理，函数在区间（0,1）内至少有一个零点，即所给方程在（0,1）内至少有一个实根。
又，当时，。
因此，在上单调增加，由此知在区间（0,1）内至少有一个零点，综上可知，方程在区间（0,1）内有唯一实根。
7.设，判定该函数的极值、单调性、该曲线的凹向与拐点。
解：所给函数的定义域为，令，得驻点，当时，不存在。
在处不存在，当时，8.设函数在上连续，证明。
证明：对于，令，则。
所以。9.已知，求，。
解：由于，而， ，因此。
进而。10试证：
证明：对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系。因此可以设，不妨设。
则在闭区间上连接，在开区间内可导。进而可知，在上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点，使得。由于。
从而有：，由于，因此。
11将函数展开为的幂级数。
解：因为，所以。
由已知展开式，得，故。
12.当时，与为等价无穷小量，求。
解：由于当时，与为等价无穷小量，因此
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