北京邮电大学2012-2013学年第一学期。
高等数学》（上）期末考试试题（a1）参考解答。
考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效。
一。 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
答：应填。2. 设。
答： 应填
3. 设处处连续， 则。
答： 应填
4. 设函数是由方程所确定， 则 .
答： 应填
5. 设， 则对于。
答： 应填
6. 曲线的拐点是。
答： 应填。
答： 应填
8. 设是连续函数， 且满足关系式， 则。
答： 应填
答： 应填
10. 微分方程的通解为。
答：应填 二（8分）．设为常数， 并设存在， 求常数的值。
解： （4分）
8分）因题设极限存在， 其充分必要条件是左、右极限存在且相等， 于是。
三（8分）. 设满足其中满足， 若已知， (1)求曲线上点处的切线方程； (2) 求极限
解 (1)由函数可微的定义可知，
曲线上点处的切线方程4分）
8分）四(8分). 设在上连续， 在内可导， 且证明至少存在一点， 使。
证明由及积分中值定理知， 存在， 使得， 即3分）
因在上连续， 故存在最大值， 但可知最大值点必在内6分）
设最大值点为， 则该点必为极大值点， 又在可导， 故必有8分）
五(8分). 求函数的增减区间， 极值点和极值， 指明是极大值还是极小值。
解函数处处连续。 当时函数可导， 而是函数非可导点。
当时， 令， 得驻点4分）
当时， ,函数单调递减；
当时， ,函数单调递增；
当时， ,函数单调递减；
当时， ,函数单调递增6分）
由极值的第一充分条件知。
是极小值点， 该极小值为；
是极大值点， 该极大值为 （8分）
六(8分). 计算积分。解 4分）
令， 则 （6分）
再作变换， 则。
所以原积分8分）
七(10分). 过坐标原点作曲线的切线， 该切线与曲线及轴围成平面图形。
1) 求面积； (2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积。
解设切点为， 曲线在该点处的切线为， 即
因切线过原点， 易得， 所以该切线的方程为。 （2分）
图形的面积为。
4分）切线与轴及直线所围的三角形绕直线旋转所得的圆锥体的体积为6分）
曲线与轴直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为。
9分）所以10分）
八(10分). 求微分方程的通解。
解对应齐次线性微分方程为。特征方程为特征根为。
齐次方程的通解为 , 其中为任意常数。 （4分）
对于非齐次微分方程， 可令特解为，
代入该方程解得， 所以6分）
对于， 可令特解为，代入方程解得所以。
特解为8分）
所求通解为其中为任意常数10分）
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