第一试。
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．对于任意的，都有，则的最大值是。
2．对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数c的最大值是注：表示x，y，z中的最大者．）
3．已知每条棱长都为3的直平行六面体abcd—a1b1c1d1中，∠bad=60°，长为2的线段mn的一个端点m在dd1上运动，另一个端点n在底面abcd上运动，则mn中点p的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为。
4．已知四个整数都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于。
5．已知椭圆的左右焦点分别为与，点p在直线l：上。 当取最大值时，的值为。
6．已知数列的前n项之和为，且，，则的表达式为。
7．已知定义在r上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，，若直线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为。
8．某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品。小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是。
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分16分）已知抛物线的焦点为f，过f作两条相互垂直的弦ab、cd，设弦ab、cd的中点分别为m、n.
( 1 )求证：直线mn必过定点；
2)分别以弦ab和cd为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点。
2．（本小题满分20分）设函数（其中为实常数），数列和定义为：，，已知不等式对任意实数均成立，数列的前项的和记为．
1）求实数、的值；
2）若数列的前项的乘积记为，证明：对任意正整数，为定值；
3）证明：对任意正整数，都有．
3．（本小题满分20分）设为自然数，已知，，求。
二试。一、（50分）已知q为以ab为直径的圆上的一点，q ≠ a, b，q在ab上的投影为h，以q为圆心，qh为半径的圆与以ab为直径的圆交于点c、d．证明cd平分线段qh．
二．（50分）将整个空间分成三个非空集合，求证：其中必有一个集合，对每个该集合中都有两点，它们之间的距离等于
三．（50分）设i=1,2,3,n．试求下面式子的最大值与最小值：
其中，。四、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？
第一试。一、 填空题：
1．答案：2，所以等号成立。
2．答案： 1005 ．
记，则，从而，所以当且仅当时，有，由此可得常数c的最大值是1005 ．
3．答案：．
由题设可知，为直角三角形，mn为斜边，**段mn的运动过程中，总有，所以p点的轨迹是以d为球心，半径为1的球面被直平行六面体abcd—a1b1c1d1所截得的部分，又因为∠adc=120°，所以p点的轨迹恰好是半个球面的三分之一，它与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积为．
4．答案： 194．
由题知，消去c、d，可得，即，因为，所以都是6的倍数，又因为，所以，从而 ，故，，则。
5．答案：．
由平面几何知，要使最大，则过，p三点的圆必定和直线l相切于p点，直线l交x轴于，则，即，即又由圆幂定理得 ，
而，，，从而有，得．
6．答案：．
当时，当时，由得，即，，是首项为，公差为的等差数列，由此易知。
7．答案：．
由已知得，从而是周期为2的函数，当时，，其图象为椭圆的上半部分，当时，联立方程，利用解得，再结合函数的图象及周期性容易得出答案．
8．答案：.
总共有种可能，其中获奖的情况可分为两类，第一类是有3袋食品的卡片相同的获奖情况（即aaabcd）有种，第二类是有两组2袋食品的卡片相同的获奖情况（即aabbcd）有种，所以概率是。
二、 解答题：
1．解：( 1)由题设知f(1,0)且直线ab的斜率存在，设，代入，得 ， 得 ，
所以 ， 同理可，故不论k为何值，直线mn恒过定点t(3,0) .
2)由抛物线定义可知，圆m、圆n都与抛物线的准线x= －1 相切，所以。
圆m、圆n的半径分别为、，从而。
由－得公共弦所在直线方程为：
故：两圆相交弦所在的直线经过原点。
2．解：（1）设方程的两个实根为，则，从而，同理，，由韦达定理：，．
2）由（1）知，从而，即。
故为定值．3），，即为单调递增的正数数列，又（），为单调递减的正数数列，从而，又，．
3．解：由题设有：，即
所以。当为奇数时，将上列各式的值代入⑴中得：
消去，得：．
解得从而。故得：
当为偶数时，同①可得方程：这时无整数解，故
第二试。一、 已知q为以ab为直径的圆上的一点，q ≠ a, b，q在ab上的投影为h，以q为圆心，qh为半径的圆与以ab为直径的圆交于点c、d．证明cd平分线段qh．
证：设pcd和ab交点，倍长hp到s，设o是ab中点．
下证：sh·so = sa·sb：
pa·pb = pc·pd = ph 2， sh·so = sh·sa + sb = phpa + ph + pb + ph
pa·ph + pb·ph + 2ph 2．
sa·sb = pa + phpb + ph
pa·pb + pa·ph + pb·ph + ph 2
2ph 2 + ph·pa + ph·pb = sh·so．
设sq是⊙o切线，qh⊥ab = h，则 sq 2 = sa·sb = sh·so = sh·so．
sh = sh h = h, q = q．
设m = qh∩cd，∴ qc = qd∴ qo⊥cd．
又 sq⊥qo sq∥cd，∴
m是hq中点，得证．
二．将整个空间分成三个非空集合，求证：其中必有一个集合，使每个 ，该集合中都有两点，它们之间的距离等于
证明：设分为三个集合a、b、c.
假设a中无距离为的点， b中无距离为的点， c中无距离为的点。
不妨设 从a中任取一点m，以m为球心作半径为的球面，该球面上的点属于b或c，若这些点全在c中，则其中必有2点距离为，矛盾！故该球面上有一点nb，以n为球心，为半径的球面与相交于一个圆，设其直径为de。
如图所示 ,而上的点只能属于c，在上存在两点距离为c，这就与假设矛盾！
三、设i=1,2,3,n．试求下面式子的最大值与最小值：
其中，。解：
当且仅当时(i=1,2,，n)，取得等号．
另一方面，当时，s=，下面我们来证明它是最大的。
从而．四、50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？
解：存在。用数学归纳法证明它的加强命题：对任何正整数存在个连续的整数，使得每一个都含有重复的素因子。
当=1时，显然成立。这只需取一个素数的平方。
假设当=时命题成立，即有个连续整数，它们分别含有重复的素因子，任取一个与都不同的素数(显然存在),当时，这个数中任两个数的差是形如的数，不能被整除，故这个数除以后，余数两两不同。但除以后的余数只有0，1，…，1这个，从而恰有一个数，使能被整除。这时，（个连续整数：
分别能被整除，即时命题成立。故题对一切正整数均成立。
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