第7讲有趣的数阵图
在前面已经向同学们介绍了一些有趣的填数游戏，如：填算式、数字谜等。下面再介绍一类奇妙的填数游戏—数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。
数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。
解答这类问题时，常用到以下知识。
1.等差数列的求和公式：
总和=（首项+末项）×项数÷2
2.计算中奇偶问题：
奇数± 奇数=偶数。
偶数± 偶数=偶数。
奇数± 偶数=奇数。
3.10以内数字有如下关系；
提示 1.认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破。
口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
2.依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值以及试验的办法确定关键数的数值及相互的和。
3.对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的填法为止。
4.解答数阵图，有时考虑重复计算的部位，习惯上利用字母进行分析，可使思路更简捷。
5.求和法与平均数的计算法要牢固掌握，因为在数阵图中经常用到。
例1 把1，2，3，4，5，6这六个数填在如图（1）的6个○中，使每条边上的三个数之和都等于9。
图（1图（2）
分析因为要求每条边上的三个数之和等于9，这样三条边总和是9×3=27，而1+2+3+4+5+6=21，与总和差为27-21=6，从图（1）不难看出：计算三边总和时，甲、乙、丙三数重复累加了一次，即可知甲+乙+丙=6时，故在1～6中只能选1，2，3三数填入三顶点（甲、乙、丙）圆圈内，再将4，5，6按要求填入另外三个圆圈内，因而得出图（2）所示的基本解，若再将图（2）的基本解中的甲、乙、丙三个数圆圈内的数字交换位置，又可得到5种不同填法，试着写一写。
例2 在图（1）各圆空余部分填上，使每个圆中4个数的和都是15。
例3 把1～12这十二个数，分别填在如下图中的正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
说明像以上介绍的各条边相互连接的数阵图叫做封闭型数阵图。对于封闭型数阵图，解题的关键是先确定顶点处的数字，然后再根据条件要求试验找出正确的解。另外，数阵的解，多数都是不唯一的，如果题目没有特别要求，只要求出一个基本解即可。
例4 把1～11这十一个数分别填入如下图中的各个○中，使每条线段上三个○内的数的和都等于22。
说明这是开放型数阵图，关键是确定中心数。
例5 将1～9这九个数，分别填入如图（1）中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和相等。
分析此题关键仍是确定中心○内的数和每条线段上三个数的和。
我们采用下面一种方法来解题。
解：设中心○内的数是a，每条线段三个○内的数的和为k，则有。
4k=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+3a
4k=45+3a
k=（45+3a）÷4
因为k是整数，所以45+3a必须能被4整除，其中45÷4=11…1，因此3a除以4的余数必须是3，这样，在1～9中，a可取1，5，9
1）当a=1时，k=12，经试验可得一基本解，如图（2）所示；
2）当a=5时，k=15，经试验可得一基本解，如图（3）所示；
3）当a=9时，k=18，经试验可得一基本解，如图（4）所示；
练习题。1、 如图，将2～6分别填入○内，使2条线上○内数之和相等。
2、 如图，已知图中每行、每列和主对角线上的三数之和都相等，求a、b、c、d、e。
3、 如图，将1～10分别填入图中各○内，使得三个正方形四个顶点上的数之和都等于21。
5.如图，将1～8分别填入○内，使图中用箭头连接起来的4个数之和都等于18。
或。3. a=40 b=30 c=10 d=20 e=45
4. 答案不唯一。
5. 答案不唯一。
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