找规律。
经典例题]把自然数按下图的方式排列：
问：1、第9行第9列的那个数是多少？
在第几行第几列？
如8在第3行第2列，22在第5行第4列)
解答：（1）据观察得出的规律可知第9行第9列的数是9×9=81，所以第9行第9列的数是81-8=73；
2）因为45×45=2025，所以第45行第一列的数是2025，2009比2025少16，所以2009在第45行第17列。
小结】 对于找规律的题目：我们应该先细心观察，找到规律以后记得要验证规律是否正确。
有趣的数字谜。
数字谜是指在一个数**算式子里，有些数字或运算符号未确定，要求我们开动脑筋，进行合理的判断推理，从而解开谜底，即找到真正的数字，这种问题也被称为“虫蚀算”，是起源于中国古代、风靡世界的一种有趣的数学问题。
数字谜题，一般有三种情况：用汉字代替数字、用字母代替数字和用符号代替数字。
例1】在下面的加法算式中，只知道一个数字3，而且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“数字谜”代表的三位数是多少？ 谜 字谜
数字谜 3 字谜
分析与解】（1）解答数字谜问题，寻找突破口非常关键。经过观察思考后发现，可以从个位入手，三个相同的数字相加，其和的个位上数字还是这个数字，只有0或5。通过结合十位上的数字分析，得出结论：
“谜”=5。
2）分析十位上的数字。两个相同的数字相加，再加上个位满十所进的“1”，其和的个位上数字还是这个数字，经试验，“字”=9。
3）很容易推出百位上的“数”=2。因此，“数字谜”代表的三位数是295。 试一试】
学 数学
爱数学 + 喜爱数学
2、在下面的算式中，“三”、“好”、“学”、“生”4个汉字各代表一个阿拉伯数字，那么“三”、“好”、“学”、“生”分别代表什么？
学生 好学生
三好学生
例2】下面算式中不同的汉字请你用1～9中不同的数字去代替，使等式成立。
赛克匹林奥加参极积
积极参加奥林匹克赛
分析与解】此题可以从最高位入手分析：“赛”＋8=“积”，可知：“赛”=1，“积”=9。
这样，其他的字只能用2～8来代替，由于千万位上的“克”至少取2，并且与6的和不能往前进1，所以最多取3，但取3时，与6的和为9，9重复出现了，所以只能是“克”=2，“极”=8。以下从左向右分析，同时兼顾到从右向左填出算式，因此，可以依次得出：“匹”=3，“参”=7，“林”=4，“加”=6，“奥”=5。
算式如下：
试一试】 1、下列竖式中，每个字母代表一个数字，请你求出：a=( s=( t=( v=(
s t v a
v t s t
t t v t t
2、在下面算式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，当算式成立时，这些汉字各代表什么数字？
快快乐乐学习
轻轻松松学习
例3】下式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请问：“我们爱数学”代表的是哪五位数？
1 我们爱数学
我们爱数学 1
分析与解】（1）选择个位作为突破口。因为3ד学”的个位是1，所以“学”=7。（2）因为3ד数”的积的个位＋2=7，所以“数”=5。
（3）因为3ד爱”的积的个位＋1=5，所以“爱”=8。（4）像这样，从右往左依次进行推理，便可推出：“们”=2，“我”=4。
因此，“我们爱数学”代表的五位数是42857。
平均数问题。
平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。
数量关系式】数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式】（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式】
大数－小数）÷2=小数应得数。
最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数。
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例题】一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析】求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为1/100，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是1/60，汽车共行的时间为 1/100+1/60=2/75, 汽车的平均速度为 2÷2/75=75 （千米/每小时）
数阵图。我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：
因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有八种不同填法：
上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。
所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。
例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。
分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，1～9也是一个等差数列。不难发现：
中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。
与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。
加减法的计算技巧。
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