2011届曹甸高级中学高三数学综合测试题（1）
班级姓名成绩
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知，则。
2．是纯虚数，则 ．
3．若将一枚硬币连续抛掷三次，则出现“至少一次正面向上”的概率为 ．
4．函数的部分图像如图所示，则 ．
5．若数列中，，则数列中的项的最小值为。
6．下右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ．
第6题。7．如果二次方程 x2-px-q=0（p,q∈n*） 的正根小于3,
那么这样的二次方程有___个。
8．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为 ．
9．若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，k称为公比和．已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，则 ．
10．动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是 ．
11．已知，则。
12．已知，设函数的最大值为，最小值为，那么 ．
13．奇函数y=f(x)的定义域为r，当x≥0时，f(x)=2x-x2，设函y=f(x),x [a,b]的值域为。
则b的最小值为。
14．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．
15．（本小题满分14分）
某中学为增强学生环保意识，举行了“环抱知识竞赛”，共有900名学生参加这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成的频。
率分布表解答下列问题：
ⅰ）求①、②处的数值；
ⅱ）成绩在分的学生约为多少人？
ⅲ）估计总体平均数；
16．（本小题满分14分）
已知向量，，，设函数。
ⅰ）求函数的最大值及相应的自变量x的取值集合；
ii）当且时，求的值。
17．（本小题满分15分）如图，四棱锥p—abcd的底面是ab=2，bc=的矩形，侧面pab是等边三角形，且侧面pab⊥底面abcd
（i）证明：侧面pab⊥侧面pbc；
（ii）求侧棱pc与底面abcd所成的角；
（iii）求直线ab与平面pcd的距离．
18．（满分15分）已知数列。
（ⅰ）令是等差数列，并求数列的通项公式；
（ⅱ）令，求数列的前项和。
19．（本小题满分16分）已知函数，其中。
ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
ⅱ）讨论函数的单调性；
ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。
20．（本小题满分16分）已知函数定义在r上。
ⅰ）若可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设，求出的解析式；
ⅱ）若对于恒成立，求m的取值范围；
ⅲ）若方程无实根，求m的取值范围。
参***。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
13．-1 14．14∵等比数列中∴
∴当公比时，； 当公比时， ∴
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．
15.解：解：（ⅰ设抽取的样本为名学生的成绩，则由第一行中可知。
处的数值为；
处的数值为………6分。
（ⅱ）成绩在[70，80分的学生频率为0.2，成绩在[80.90分的学生频率为0.32，所以成绩在[70.90分的学生频率为0.528分。
由于有900名学生参加了这次竞赛，所以成绩在[70.90分的学生约为（人）……10分。
（ⅲ）利用组中值估计平均为。
………14分。
16.解：（ⅰ1分。
3分。4分。
函数取得最大值为5分。
相应的自变量x的取值集合为{x|（z7分。
ii）由得，即。
因为，所以，从而………9分。
于是。14分。
17.解：17．（i）证明：在矩形abcd中，bc⊥ab
又∵面pab⊥底面abcd侧面pab∩底面abcd=ab
∴bc⊥侧面pab 又∵bc侧面pbc
∴侧面pab⊥侧面pbc）
（ii）解：取ab中点e，连结pe、ce
又∵△pab是等边三角形 ∴pe⊥ab
又∵侧面pab⊥底面abcd，∴pe⊥面abcd
∴∠pce为侧棱pc与底面abcd所成角。
在rt△pec中，∠pce=45°为所求
（ⅲ）解：在矩形abcd中，ab//cd
∵cd侧面pcd，ab侧面pcd，∴ab//侧面pcd
取cd中点f，连ef、pf，则ef⊥ab
又∵pe⊥ab ∴ab⊥平面pef 又∵ab//cd
∴cd⊥平面pef ∴平面pcd⊥平面pef
作eg⊥pf，垂足为g，则ec⊥平面pcd
在rt△pef中，eg=为所求。
18.解：（ⅰ
即，即………3分，即当时，
又数列是首项和公差均为1的等差数列……5分。
于是………6分。
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以。
所以………5分。
②……8分。
由①-②得……10分。
………12分。
19.解：解：ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
ⅱ）解：．当时，显然（）．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
ⅲ）解：由（ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．
20.解：（ⅰ假设①，其中偶函数，为奇函数，则有，即②，由①②解得，.
定义在r上，∴，都定义在r上。，.
是偶函数，是奇函数，∵，
由，则，平方得，∴，关于单调递增，∴.
对于恒成立，对于恒成立，令，则，，∴故在上单调递减，，∴为m的取值范围。
ⅲ）由（1）得，若无实根，即①无实根，
方程①的判别式。
1°当方程①的判别式，即时，方程①无实根。
2°当方程①的判别式，即时，
方程①有两个实根，即 ②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且 ④，恒成立，由④解得， ∴同时成立得．
综上，m的取值范围为。
高三数学综合测试题
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