寒假作业部分习题答案。
1、在△abc中，ad是∠a的外角平分线，p是ad上异于a的任意一点，则pb+pc与ab+ac的大小关系是什么，并证明。
太简单了。2、在四边形abcd中，ab=2，cd=1，∠a=60°，∠b=∠d=90°，求bc和ad的长。
分别延长ad，bc，构造直角三角形。
3、已知：在△acd中，∠c=45°，∠abd=60°,2bc=bd，求∠d的度数。
d=75°，过点d向ab作垂线dm垂直ab于m
连结cm，想办法证明dm=am，仔细观察，图里面隐含着很多等腰三角形。
4、（1）已知：如图1，△中，，，平分，点为中点，交的延长线于，猜想直接写出结论，不需证明）.
2）已知：如图2，△中，，，平分，点为中点，交的延长线于，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
太简单了，分别向ac，bc边作垂线，证全等就ok了。
下面是出题人的解法，大家可以学一下，对比还是上面的方法简单。
1）猜想2分。
2）结论：依然成立。
证明：联结ce
为中点。ae=eb=ec3分。
∠eac=∠eca,
dce=∠eca－∠dca=∠eac－45°
又∠dac=180°－∠adc－45°=135°－∠pde4分。
∠dce=135°－∠pde －45°=90°－∠pde=∠dpe
pe=ec=ae5分。
△pae与△pbe为等腰直角三角形，∠apb=906分=360°－∠apb－∠acb=360°－90°－90°=180°……7分。
5、已知：，平分．
在图1中，若＝120°，＝90°， 填写。
在图2中，若＝120°，＋180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
分别向am，an边作垂线，证一次全等就出来了。
6、如图1，在□abcd中，ae⊥bc于e，e恰为bc的中点，.（1）求证：ad=ae； （2）如图2，点p在be上，作ef⊥dp于点f，连结af.
求证：；（3）请你在图3中画图**：当p为射线ec上任意一点（p不与点e重合）时，作ef⊥dp于点f，连结af，线段df、ef与af之间有怎样的数量关系？
直接写出你的结论。
这类问题截长补短，利用旋转的思想添加辅助线。
几种图的核心都是证明△afe≌△amd
利用旋转变换额思想来解决截长补短问题。
7、请阅读下列材料
问题：如图1，在等边三角形abc内有一点p，且pa=2， pb=， pc=1．求∠bpc度数的大小和等边三角形abc的边长．
李明同学的思路是：将△bpc绕点b逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接pp′，可得△p′pc是等边三角形，而△pp′a又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠ap′c=150°，而∠bpc=∠ap′c=150°．进而求出等边△abc的边长为．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，**并解决下列问题：如图3，在正方形abcd内有一点p，且pa=，bp=，pc=1．求∠bpc度数的大小和正方形abcd的边长．
1）如图，将△bpc绕点b逆时针旋转90°，得△bp′a，则△bpc≌△bp′a．
ap′=pc=1，bp=bp′=．
连结p p′，在rt△bp′p中， bp=bp′=，pbp′=90°， p p′=2，∠bp′p=452分。
在△ap′p中， ap′=1，p p′=2，ap=，，即ap′ 2 + pp′ 2 = ap2．
△ap′p是直角三角形，即∠a p′ p=90°．
∠ap′b=135°．
∠bpc=∠ap′b=1354分。
2）过点b作be⊥ap′ 交ap′ 的延长线于点e．
∠ep′ b=45°.
ep′=be=1.
ae=2.
在rt△abe中，由勾股定理，得ab7分。
∠bpc=135°，正方形边长为．
8、.阅读下列材料：
在图1—图4中，正方形abcd的边长为a，等腰直角三角形fae的斜边ae＝2b，且边ad和ae在同一直线上．
小明的做法：当2b＜a时，如图1，在ba上选取点g，使bg＝b，连结fg和cg，裁掉△fag和△cgb并分别拼接到△feh和△chd的位置构成四边形fgch．
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△fag绕点f逆时针旋转90°到△feh的位置，易知eh与ad在同一直线上．连结ch，由剪拼方法可得dh=bg，故△chd≌△cgb，从而又可将△cgb绕点c顺时针旋转90°到△chd的位置．这样，对于剪拼得到的四边形fgch（如图1），过点f作fm⊥ae于点m（图略），利用。
sas公理可判断△hfm≌△chd，易得fh=hc=gc=fg，∠fhc=90°．
进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形fgch是正方形．
解决下列问题：
1）正方形fgch的面积是用含a，b的式子表示）
2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
9、已知：如图，△abc中，ab=3，∠bac=120°，ac=1，d为ab延长线上一点，bd=1，点p在∠bac 的平分线上，且满足△pad是等边三角形。
1）求证：bc=bp；
2）求点c到bp的距离。
证明：如图1，连结pc1分。
ac=1，bd =1， ∴ac=bd.
bac=120°，ap平分∠bac，pad是等边三角形，pa=pd，∠d=60°.
1=∠d.pac≌△pdb2分。
pc= pb，∠2=∠3.
2+∠4=∠3+∠4， ∠bpc=∠dpa=60°.
pbc是等边三角形，bc=bp3分。
证法二：作bm∥pa交pd于m ，证明△pbm≌△bca.
（2）解法一：如图2，作ce⊥pb于e， pf⊥ab于f.
即点c到bp的距离等于。
解法二：作bn⊥dp于n，dn=，，bn=，.
10、在△abc中， bc＝a，bc边上的高h＝，沿图中线段de、cf将△abc剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形cfhg，如图1所示．请你解决如下问题：
已知：如图2，在△a′b′c′中， b′c′＝a，b′c′边上的高h＝．请你设计两种不同的分割方法，将△a′b′c′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．
11、如图①，在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，且∠eaf＝45 °，则有结论ef＝be＋fd成立；
1）如图②，在四边形abcd中，ab＝ad，∠b＝∠d＝90°，e、f分别是bc、cd上的点，且∠eaf是∠bad的一半，那么结论ef＝be＋fd是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
2）若将（1）中的条件改为：在四边形abcd中，ab＝ad，∠b+∠d＝180°，延长bc到点e，延长cd到点f，使得∠eaf仍然是∠bad的一半，则结论ef＝be＋fd是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
12、在中，ac=bc，，点d为ac的中点．
1）如图1，e为线段dc上任意一点，将线段de绕点d逆时针旋转90°得到线段df，连结cf，过点f作，交直线ab于点h．判断fh与fc的数量关系并加以证明．
2）如图2，若e为线段dc的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
1）fh与fc的数量关系是：． 1分。
证明：延长交于点g，由题意，知 ∠edf=∠acb=90°，de=df．
dg∥cb．
点d为ac的中点，点g为ab的中点，且．
dg为的中位线．
ac=bc，dc=dg．
dc- de =dg- df．
即ec =fg2分。
∠edf =90°，∠1+∠cfd =90°，∠2+∠cfd=90°．
∠1 =∠23分。
与都是等腰直角三角形，∠def =∠dga = 45°．
∠cef =∠fgh = 1354分。
△cef ≌△fgh5分。
cf=fh6分。
2）fh与fc仍然相等7分。
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