数字信号处理结课作业

1从数学角度证明：离散时间信号的频谱是周期型的，周期信号的频谱是离散型的。

证明：1.1由于周期信号分为连续时间周期信号和离散时间周期信号所以周期信号的频谱分两方面来证明。

1.1.1连续时间周期信号。

设周期信号的周期为，频率为，角频率为。由傅里叶级数理论得。

是在时间区间的一组完备的正交函数集。若周期信号满足狄里赫利条件，即：①周期信号在任意有限区间内连续或只有有限个第一类间断点；②在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值，且在一个周期内绝对可积。

此周期信号的傅里叶级数展开式为。

其中。将展开式中的余弦项和正弦项进行合并可得：

其中。式中为周期信号的直流分量，、分别为基波分量的振幅和初相位，、（k≥2）分别为周期信号的第k次谐波分量的振幅和初相位，分别构成幅度频谱和相位频谱。这些周期分量成为周期信号的频谱。由式（1-5）、（1-6）可知，、的下标一组正整数序列，所以周期信号的幅度频谱和相位频谱都是离散的，进而周期信号的频谱是离散的[1]。

1.1.2离散时间周期信号。

对于离散时间周期序列进行傅里叶变换没有意义，所以先要将离散周期序列展开成傅里叶级数：

其中是将复平面上单位圆进行n等分获得的，序列具有周期性，且周期为n。

由。可知，，，可作为周期序列的一组单位正交基。

在（1-10）中，序列=1为周期序列的直流分量，为周期序列的基波分量，为周期序列的第k次谐波分量。

由（1-10）可得。

离散傅里叶级数成为周期序列的频率特性，即频谱。由式（1-11）可知是一系列离散的点，离散时间周期信号的频谱是离散的。

所以综合（1）、（2）可得周期信号的频谱离散的。

1.2由于离散信号分为离散时间周期信号和离散时间非周期信号所以离散信号的频谱分两方面来证明。

1.2.1离散时间周期信号。

由1.1可得周期为n的离散时间周期信号。

其频谱为式（1-11）中的，因为是关于k的周期序列，所以也是关于k的周期序列。k成为频率序号。所以说离散时间周期信号的频谱是周期的。

1.2.2离散时间非周期信号。

首先对离散时间非周期序列进行z变换得。

将代入上式的。

其中是序列的频率特性，即频谱，为序列的幅频特性，是为相频特性。两者都是数字角频率的连续函数，由于是以为周期的周期函数，因此也是以为周期的周期函数。

综合（3）、（4）得离散信号的频谱是周期的[2]。

得证。2 举例说明，带限信号的采样频率不一定需要满足采样定理。

假设某一有限长信号的频谱如图1：

在不满足采样定理的情况下，设置采样角频率(),采样后信号的频谱如图2，虽然出现了频谱混叠，但采样后的频谱在幅度上与原信号在范围内的频谱的区别是前者幅度是后者的2倍，两个频谱图是数学上的相似图形，使用一个增益为，带宽为的低通滤波器即可完成原信号的回复。该低通滤波器的频率特性如图3.

由理想低通滤波器的输出频谱示意图4可得。

所以上述符号在采样过程中虽然不满足采样定理，但仍可以准确的恢复原信号。

3 尽量全面说明补零对数字信号处理的影响，并通过程序实现。

3.1补零能防止频谱混叠。

设长度为n的两个序列和，两个序列的线性卷积的长度为2n-1，循环卷积的序列长度与、的长度一样均为n。所以在利用循环卷积计算线性卷积时，就会出现混叠，因此必须通过在原始信号后补零的方法将两个序列的长度增加到2n-1后，再计算循环卷及时方能得到与线性卷积一样的结果[1]。下面以两个长度n=5的序列、为例来介绍，如图5。

线性卷积的结果如图6：

未补零时，循环卷积的结果如图7：

可见未补零时的循环卷积会出现混叠，不能正确计算线性卷积。通过补零将两个序列的长度补至2n-1以后形成的序列如图8：:

补零后的循环卷积如图9：

可见通过在序列后补零将序列的长度补至2n-1后再进行循环卷积后的结果与线性卷积的结果一致。

matlab程序如下：

clearn=5;n=[0:1:n-1];x=[3 4 5 6 4];

subplot(3,1,1);stem(n,x,'.xlabel('n');ylabel('x(n)')

h=[4 5 2 5 9];

subplot(3,1,2);stem(n,h,'.xlabel('n');ylabel('h(n)')

x=fft(x);h=fft(h);y=x.*h;y=ifft(y);

subplot(3,1,3);stem(n,y,'.xlabel('n');ylabel('y(n)')补零前的频谱图%

n=10;n=[0:1:n-2];

figure;

x1=[x,zeros(1,4)];h1=[h,zeros(1,4)];

subplot(2,1,1);stem(n,x1,'.xlabel('n');ylabel('x(n)')

subplot(2,1,2);stem(n,h1,'.xlabel('n');ylabel('h(n)')

figure;

y=conv(x,h);subplot(2,1,1);stem(n,y,'.xlabel('n');ylabel('y(n)')

x1=fft(x1);h1=fft(h1);y1=x1.*h1;y1=ifft(y1);

n=[0:1:8];

subplot(2,1,2);stem(n,y1,'.xlabel('n');ylabel('y(n)')补零后的频谱图%

3.2求取信号的频谱时补零的作用。

在求取信号的频谱时，在信号序列后补零可以起到两个作用：（1）降低栅栏效应（2）提高采样频率，使频谱的包络线更加清晰，更能反映频谱的变化趋势，同时也使频谱图更加美观。

瞬态信号的频谱密度函数是连续的，但是，利用离散福利叶变换计算获得的频谱密度只能是有限个离散值。因此相邻两个谱线之间频率点的频谱是不能得到的。在数字频谱分析中，能够计算得到的频谱值相当于“栅栏”的透过部分，谱线之间的频谱被“栅栏”结构挡住了，称这种现象为“栅栏效应”。

降低“栅栏效应”的措施就是提高频率的分辨率，可以通过在原信号采样序列的尾部补充零值，是序列长度增加，以实现在保持采样频率不变的前提下延长信号的记录时间[3]。下面以一个以一个信号采样序列为例来说明：

原信号采样序列如图10：

在未补零时，原信号采样序列的幅度频谱如下图11：

在原信号采样序列后补30个零值，使n=40的频谱如下图：

在原信号采样序列后补90个零值，使n=100的频谱如下图：

由以上三个频谱图可知随着在原信号采样序列补零的个数的增加，其频谱图能够得到的频谱越多，栅栏效应减小，并且频谱的包络线也不断变得清晰。

实现程序如下：

clearn=10;n=[0:1:n-1];

x=[3 7 2 4 8 9 2 4 5 3];

subplot(2,1,1);stem(n,x,'.xlabel('n');ylabel('x(n)')

x=fft(x);

subplot(2,1,2);stem(n,abs(x),'xlabel('k');ylabel('|x(k)|'title('n=10')

未补零时的频谱特性%

x1=[x,zeros(1,3*n)];x1=fft(x1);

figure;

n=[0:1:4*n-1];subplot(2,1,1);stem(n,abs(x1),'xlabel('k');ylabel('|x(k)|'title('n=40')

在序列后补30个零时的频谱特性%

x2=[x,zeros(1,9*n)];x2=fft(x2);

n=[0:1:10*n-1];subplot(2,1,2);stem(n,abs(x2),'xlabel('k');ylabel('|x(k)|'title('n=100')

在序列后补90个零时的频谱特性%

3.3 内插补零的作用。

在原信号采样序列前和序列值之间补零也可以实现提高采样效率的效果，只不过在采用零值内插时，随着内插零值的数量增加，会是信号采样序列产生误差甚至发生畸变[4]。在采样序列前补零的程序编写和显示效果同在序列后补零，不再赘述，以（2）中原始信号采样序列为例，先试一下零值内插的结果。内插值d=2时的记过如下图：

可见，频谱图**现两个峰值，成为内插误差。当内插值d=9时，频谱图会完全发生畸变，不能显示正确的频谱。如图15所示。

通过用matlab对在某信号序列前、序列后以及在序列样值之间进行内插补零三个方面的编程和**结果的分析，较全面的阐述了补零对数字信号处理的影响。

4 全面阐述功率谱。

在研究确定性信号时，人们经常用傅里叶变换或z变换对信号进行频谱分析，但在工程实际中常常要处理的信号是不可预知的具有无限能量的非周期信号，这类信号不满足绝对可和条件，甚至不满足乘以指数衰减序列后绝对可和的条件，因此它们的傅里叶变换和z变换都不存在。但是如果将这类信号看成是一个离散随机过程的取样序列，由于离散随机过程的自相关序列和子协方差序列都是非周期序列，由两者的性质可知当时间序号m趋向于无穷大时，自协方差序列的值将衰减为零，，其自相关序列的值也将衰减为零，即自相关序列和子协方差序列都是有限能量序列，它们的z变换和傅里叶变换时存在的，解决了在频域或z域表示和分析这些信号的难题。离散随机过程的频谱即为功率谱。

下面就平稳随机过程的功率谱进行阐述。

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