数字信号处理作业

数字信号处理中加窗的重要性分析和选择原则。

摘要：本文分析了数字信号处理中加窗的重要性，说明了在频谱分析和在lti系统设计中数字信号处理中的加窗原理，讨论了对谱估计和数字滤波器设计的影响，提出了合理使用窗函数的原则。，从而实现了从基木原理入手，整体分析加窗在数字信号处理中的重要性。

关键词：数字信号；窗函数；选窗原则。

0引言。数字信号处理是当前信息处理技术一个十分活跃的分支，由于计算机和大规模集成电路技术的发展，使得它成为神经网络、故障诊断等现代科学技术领域中一种重要的工具。传统的信号处理主要是建立在连续时间信号和连续时间系统基础上的。

简言之，数字信号处理是把信号用数字或符号表示的序列，通过计算机或通用信号处理设备，用数字的数值计算方法处理，以达到提取有用信息便于应用的目的。在处理实际的物理信号时，能得到的信号长度总是有限的，这就相当于对无限长的时间序列x(n)施加了一个窗函数，将对数字信号处理结果产生影响。然而，在数字信号处理过程中，这种处理是不可避免的，因此，需要探索数字信号处理中加窗的影响及窗函数的选择原则。

1窗函数施加原理。

1.1在频谱分析中。

对一个连续时间信号进行数据处理时，须先对x(t)进行采样，将之化成时间离散函数，设其频谱为x(f），一有限长窗函数为：

对加窗处理得，设ωn(t)的频谱为wn(f)，按复卷积得：

由此可见，窗函数ωn(t)会影响原信号在时域及频域上的形状，窗函数ωn(t)的频谱wn(f)决定频谱xn(f)与原函数的频谱x(f)之间的差异，因而可以通过选择不同的窗函数来达到所需的信号。

1.2在lti系统设计中。

在lti系统设计中，一般需要一个有限长脉冲响应系统。从频率响应hd(ejw)入手，用其反变换hd(n)构成一个有限长单位脉冲响应h(n)，使它的傅立叶变换充分地逼近hd(ejω)。通过选择窗函数ω(n}实现h(n)，使h(n)·ωn)的傅立叶变换满足所需要的hd(ejω)指标要求，h(ejω)与hd(ejω)之间的关系式经推导为由此可见h(ejω)逼近hd(ejω)的好坏，完全取决于窗函数的频谱特性。

2数字信号处理中的窗口效应。

数字信号处理中因数据的截短而产生的窗口效应主要表现在两个方面：一是影响信号的频域分析或谱估计的质量；二是影响数字滤波器的特性，分述如下。

2.1窗效应在谱分析中的影响。

通常在对非时限信号x(t)做频谱分析时，只能通过对其截取所获得的有限长度的样本来计算，其结果是对其真实谱的近似，即估计值。对信号截断，相当于对信号施加一窗函数，因此，引入窗函数是不可避免的。

当信号被截断后反映在频谱上，频谱的离散值就会泄漏到旁瓣上去，引起信号的失真，比如，对周期信号进行非周期截断(图1所示)后，其频谱如图3所示；而且对同一周期信号截断位置不同时，其泄漏程度也不同；只有当原始信号为周期信号且采用长度t等于该信号周期的整数倍(即周期性截断，图2所示)时，才不会产生泄漏。

图1非周期性截断。

图2周期性截断。

图3非周期截断后的频谱。

在实际数据处理中，往往难于做到恰好是信号的整数性截断，故泄漏效应总存在，它使离散傅立叶变换与连续傅立叶变换之间出现显著差异，在功率谱密度估计时将产生严重偏度误差，所以必须尽可能地减少泄漏，以使得这种差异最小，最大限度地提高处理结果的可信度。

2.2 gibbs效应。

在设计fir数字滤波器时，设理想的fir数字滤波器的频率响应是以2π为周期的周期函数，对其进行反傅里叶变换得到所对应的单位抽样响应序列hd(n)，把hd(n)先截短为有限项h(n)后再右移，使h(n)为因果性，则对应的频率响应hd(ejω)是对h(ejω)的近似。在时域上hd(n)·ωn)，在频域则相当hd(ejω)卷积ω(n)的频谱w(ejω)。以低通滤波器为例，加窗产生两方而的影响，其一是使滤波器的频率响应在理想的截止频率处出现过渡带，其二是使滤波器在通带和阻带内产生了一些起伏振荡的现象，这就是gibbs效应，为了减小此效应，可以采用不同的窗函数。

3窗函数选用准则。

根据窗函数对数据处理的影响，可参照下述原则选取理想的窗函数：

1)窗函数频谱的主瓣应尽可能地窄，即能量尽可能集中在主瓣内，以提高谱估计时的频域分辨率和减小泄漏，在数字滤波器设计中获得较小的过渡带。

2)尽量减少窗函数频谱的最大旁瓣的相对幅度，以使旁瓣高度随频率尽快衰减。

如这两条不能同时得到满足，往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。总之，在应用窗函数时，除要考虑窗函数频谱本身的特性外，还应充分考虑被分析信号的特点及具体处理要求。

4矩形窗及三角窗函数。

矩形窗函数时域形式：

频域特性：

三角窗函数的时域表达式：

当n为奇数时：

当n为偶数时：

频域特性为：

实例：生成一个长度为60的矩形窗，一个长度为50的三角形窗，并观察其频率特性(使用归一化的幅值和频率)，结果如图4，图5所示。

图4矩形窗及其频谱特性。

图5三角窗及其频谱特性。

5结论。本文通过首先介绍数字信号处理领域中窗函数的有关知识，因实际中处理的都是有限长离散信号，因此不可避免地要遇到数据截断问题，所以，我们在信号处理中，采用序列与窗函数在时域相乘来实现的数据截断问题，而加窗对处理结果的影响是不可避免的，所以可通过不同的方法来对其进行优化处理。基于此，本文对加窗优化在数字信号处理的重要性进行了分析，希望对读者有些许帮助。

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