● 各专题参*** ●
专题一数与式的运算参***。
例1 （1）解法1：由，得；
若，不等式可变为，即； ②若，不等式可变为，即，解得：．综上所述，原不等式的解为．
解法2：表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为．
解法3：，所以原不等式的解为．
2）解法一：由，得；由，得；
若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；
若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．
解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点p到坐标为1的点a之间的距离|pa|，即|pa|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点p到坐标为2的点b之间的距离|pb|，即|pb|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为|pa|＋|pb|＞4．由|ab|＝2，可知点p 在点c(坐标为0)的左侧、或点p在点d(坐标为4)的右侧．
所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．
例2（1）解：原式=
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
2）原式=3）原式=
4）原式=例3解：
原式=例4解：
原式= ①把②代入①得原式=
例5解：（1）原式=
（2）原式=
说明：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
3）原式=4） 原式=
例6解： 原式=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
巩固练习】1． 2． 3．或 4．
专题二因式分解答案。
例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．
解：(1)．
例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解： 2）分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解： 例5 解： 巩固练习】
其他情况如下：；
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案。
例1解：∵，1)； 2)； 3)；(4)．
例2解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：
由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：
例3解：由题意，根据根与系数的关系得：
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，等等．韦达定理体现了整体思想．
巩固练习】1． a； 2．a； 3．； 4．； 5． (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根．6．(1)； 2)．
专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参***。
例1 解：(1)因为、关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以，，则、．
2)因为、关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，，，则、．
3)因为、关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以，，则、．
例2分析：因为直线过第。
一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知ob＝2，而δaob的面积为2，由此可推算出oa＝2，而直线过第二象限，所以a点坐标为（－2，0），由a、b两点坐标可求出此一次函数的表达式。
解：∵b是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴b（0，2），∴ob＝2，
过第二象限，
巩固练习】1． b 2． d(2，2)、c(8，2)、b(6，0)． 3．（1）．（2）点的坐标是或．
专题五二次函数参***。
例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点a(－1，4))，与x轴交于点b和c，与y轴的交点为d(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
例2 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（b），将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴解得a＝－2．
二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|4a|＝2，即a＝．所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得。
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
巩固练习】1．（1）d （2）c （3）d 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2＋2x＋3
4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．
5．（1）函数f（x）的解析式为
2）函数y的图像如图所示。
3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．
专题六二次函数的最值问题参***。
例1分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．
2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，所以抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值．
例2解：作出函数的图象．当时，，当时，．
说明：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
例3解：作出函数在内的图象．
可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．
例5解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又．
2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下。
当时， 当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
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