假期作业答案

1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是 (

a．完全归纳推理b．归纳推理。

c．类比推理d．演绎推理。

2．用反证法证明命题：“若a，b∈n，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 (

a．a，b都能被3整除。

b．a，b都不能被3整除。

c．a，b不都能被3整除。

d．a不能被3整除。

3．若p＝＋，q＝＋ a≥0)，则p，q的大小关系为。

a．p>qb．p＝q

c．p4．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为。

a．(0b．(－1,0)∪(2，＋∞

c．(2d．(－1,0)

5．由曲线y2＝x和直线x＝1所围成的图形的面积是( )

a. b．1

c. d．3

解析】由图形及定积分知识可得，面积s＝ [dx＝2dx＝x＝，故选c.

答案】 c6. 如右图阴影部分的面积是。

a．e＋b．e＋－1

c．e＋－2

d．e－7．曲线f(x)＝x3＋x－2在点p处的切线平行于直线y＝4x－1，则点p的坐标为 (

a．(1,0b．(－1，－4)

c．(1，－4d．(1,0)或(－1，－4)

8．函数f(x)在定义域r内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)>0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是。

a．a>b>cb．c>a>b

c．b>a>cd．c>b>a

9．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )

a．(k－1)2＋2k2 b．(k＋1)2＋k2

c．(k＋1)2 d． (k＋1)[2(k＋1)2＋1]

答案] b解析] 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.

10．已知为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若为等差数列，a5＝2，则的类似结论为( )

a．a1a2a3…a9＝29 b．a1＋a2＋…＋a9＝29

c．a1a2…a9＝2×9 d．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

答案] d解析] 由等差数列的性质知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故d成立．

11.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有___个小正方形，第n个图中有___个小正方形( )

a．28， b．14，c．28， d．12，答案] a

解析] 根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.

第n个图形中有1＋2＋…＋n＋1)＝.

12.给出定义：若函数f(x)在d上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在d上也可导，则称f(x)在d上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′若f″(x)<0在d上恒成立，则称f(x)在d上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是( )

a．f(x)＝sinx＋cosx b．f(x)＝lnx－2x

c．f(x)＝－x3＋2x－1 d．f(x)＝－xe－x

答案] d解析] 若f(x)＝sinx＋cosx，则f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；

若f(x)＝lnx－2x，则f″(x)＝－在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；

若f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；

若f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x.

在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0，故选d.

13．设m＝，n＝()x＋y，p＝3 (其中0a．mc．p【解析】 m＝>＝x＋y＝n，n＝()x＋y＝3>3＝p.

m>n>p，故选d.

答案】 d14．在△abc中，d是bc的中点，则＝ (将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题。

答案] 在四面体a－bcd中，g为△bcd的重心，则＝ (

15.函数f(x)＝x－2ln x(a∈r)．在点a(1，f(1))处的切线方程为。

解】f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－ (x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点a(1，f(1))处的切线方程为。

y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

16.已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是。

答案] (0)∪(9，＋∞

解析] 由题意得y′＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同的实根，故δ＝(2a)2－4×3×3a>0，解得a<0或a>9.

17.如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为___

答案] (3，－1)∪(0,1)

解析] x·f′(x)<0或。

(－3，－1)是f(x)的递增区间，f′(x)>0的解集为(－3，－1)．

(0,1)是f(x)的递减区间，f′(x)<0的解集为(0,1)．

故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．

18.变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2 s内所走过的路程为_2___m.

19．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞上是单调函数，则实数a的取值范围是。

20．抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为d(包含三角形内部与边界)．若点p(x，y)是区域d内的任意一点，则x＋2y的取值范围是___

解析】由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为。

y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点a(，0)，b(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故取值范围是。答案】

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