2023年考研数学三真题。
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列**给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
1)已知当时，与是等价无穷小，则。
ab) cd)
答案】c。解析】
方法一】(洛必达法则)
(洛必达法则)
由此得。方法二】
由泰勒公式知。则。故。
方法三】故。
综上所述，本题正确答案是c。
考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算。
高等数学—一元函数微分学—洛必达(l'hospital)法则。
2)已知在处可导，且，则。
ab) cd)0
答案】b。解析】
方法一】加项减项凑处导数定义。
方法二】拆项用导数定义。
由于，由导数定义知。
所以。方法三】排除法：选择符合条件的具体函数，则。
而对于，显然选项(a)(c)(d)都是错误的，故应选(b)
方法四】由于在处可导，则。
综上所述，本题正确答案是b。
考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算。
3)设是数列，则下列命题正确的是。
a)若收敛，则收敛。
b)若收敛，则收敛。
c)若收敛，则收敛。
d)若收敛，则收敛。
答案】a。解析】
若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛。
综上所述，本题正确答案是a。
考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件。
4)设，则的大小关系为。
ab) cd)
答案】b。解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当时，又因为为上的单调增函数，所以， 故。即。
综上所述，本题正确答案是b。
考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质。
5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行和第3行得单位矩阵，记， ,则。
ab) cd)
答案】d。解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题。
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵。
按题意，从而，从而。
所以。考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵。
6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为。
ab) c)
d) 答案】c。
解析】因为是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，那么是的2个线性无关的解。
从而即。显然，因此。
由于知(a),(b)均不正确。
又，所以是方程组的解。
综上所述，本题正确答案是c。
考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解。
7)设与为两个分布函数，其对应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是。
ab) cd)
答案】d。解析】
判断函数是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：
1) 满足是概率密度的充要条件。
和。2) 或者，而为分布函数。
由于与为两个分布函数，显然也是分布函数，而。
综上所述，本题正确答案是d。
考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度。
8)设总体的服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量和，有。
ab) cd)
答案】d。解析】
所以，, 相互独立均服从。
可求得。而，所以。
综上所述，本题正确答案是d。
考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本。
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
9)设，则 。
答案】。解析】
综上所述，本题正确答案是。
考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算。
10)设函数，则 。
答案】。解析】由，可得。
所以。综上所述，本题正确答案是。
考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算。
11)曲线= 在点处的切线方程为 。
答案】。解析】
方程= 两端对求导得。
将代入上式，故所求切线方程为。
考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线。
12)曲线直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 。
答案】解析】
由旋转体公式得。
综上所述，本题正确答案是。
考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用。
13)设二次型的秩为1，的各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为 。
答案】解析】
的各行元素之和为3，即。
所以是的一个特征值。
再由二次型的秩为1是的2重特征值。
因此正交变换下标准形为。
综上所述，本题正确答案是。
考点】线性代数—二次型—二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形。
14)设二维随机变量服从正态分布，则 。
答案】。解析】
服从正态分布。
所以与相互独立，且。
综上所述，本题正确答案是。
考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质。
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15)求极限。
解析】方法一】
等价无穷小代换)
洛必达法则)
极限为非零常数的因子极限先求)
洛必达法则)
方法二】等价无穷小代换)
分子有理化)
考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算。
16)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，.求。
解析】由链导法则，，其中。
所以。由于是的极值，则。
,令，得。
考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值。
17)求不定积分。
解析】方法一】
令，则。方法二】
考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
18)证明恰有两个实根。
解析】令，本题也就是要证明恰有两个零点。
令得，则。当时，, 单调减；
当时，, 单调增；
当时，, 单调减；
又。则为的一个零点，在内还有一个零点。
故恰有两个实根。
考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别。
19)设函数在上有连续导数，且。
其中。求的表达式。
解析】化已知等式左边的二重积分为二次积分计算。
等式右边的二重积分化为二次积分。
可知为区域的面积，区域易得为三角形，面积为。
所以。所以。
两边对求导得
解得 ，由得
所以，考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义。
高等数学—常微分方程和差分方程—齐次微分方程，一阶线性微分方程。
20)设向量组，，不能由向量组，，线性表示。
i)求的值；
ii)将用线性表示。
解析】i)因为，所以线性无关。
那么不能由线性表示线性相关，即。
所以。ii)如果方程组都有解，即可由线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解。
对做初等行变换，有。
所以，考点】线性代数—向量—向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关。
21)设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且。
i)求的所有特征值与特征向量；
ii)求矩阵。
解析】i)因知，所以是的特征值。
又。所以按定义，是的特征值，是属于的特征向量；
是的特征值，是属于的特征向量。
是属于的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此。
解出。故矩阵的特征值为；特征向量依次为。
其中均是不为0的任意常数。
ii)由，有。
考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵。
22)设随机变量的概率分布分别为。
且。i)求二维随机变量的概率分布；
ii)求的概率分布；
iii)求的相关系数。
解析】i)由得。而。即。
的概率分布的边缘分布为。
已知。最后可得。
ii)的可能取值，由的概率分布可得的概率分布。
iii)由及的概率分布得。
所以。考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质。
23)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域。
i)求的概率密度；
ii)求条件概率密度。解析】i)
当或时，；当时，；
当时，所以。
ii)等价于。
在时，条件概率密度。
考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常见二维随机变量的分布。
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