广东省大学生数学竞赛试卷参***(经济管理类)
一、(本题30分， 每小题3分) 填空题。
1. 已知， 则极限。
解由已知极限存在可知：, 于是。
故。2．设对于满足方程。若在取得极值，则它是填极大值还是极小值）
解：答案为极小值。
在取得极值，因此应有，由于存在，因此是连续的，易求出。
因此为极小值。
3. 极限。
解令，则。4. 设函数满足则。解 从而。
5．极限。解：答案为。
令，原式=.
6. 由方程确定了函数， 则。解。故。
7.设可微，，若，则。
应填：47解
8.设函数连续， ,记， 则。
解由极坐标可得。
因连续， 故。
且，9. 设是微分方程的三个不同的解，且不恒等于常数，则微分方程的通解为。
解由微分方程解的性质可得。
10．级数的收敛区间为。
解答案为。设，先求幂级数收敛半径。，故幂级数的收敛半径为，于是原级数的收敛范围由不等式所确定，解之得。
当时，原级数为；当时，原级数为，它们的一般项均不以零为极限，故此级数发散，故。
二、（本题10分）设函数具有二阶连续导数，且， 证明：函数。
具有一阶连续导数。
解 （1），故在点连续。
2）在点的可导性。
3）的连续性。
由（2）可得。
从而，故而在点连续，从而处处连续。
三、（本题10分） 设在上可导， 当时，; 且对区间内所有有， 证明： 在上有且仅有一点使得。
证明令则，. 由连续函数的介值定理可知： 至少存在一点使得即
倘若还有一点， 使得， 由罗尔定理可知： 在与之间存在一点， 使得， 即， 这与已知矛盾。 故原命题成立。
四、（本题10分）设函数在区间上连续，并设，求。
解：交换积分次序，可得。
因此。五、（本题10分）设，其中为连续函数，求。
解原方程变形为 ，代入得。
两边关于求导得，即。
代入得。两边再求导数得：，于是得到微分方程：.
其特征方程为，求出对应齐次方程的通解为。
设特解为带入原方程求出：.
所以非齐次方程的通解为，代入初始条件：得，因此。
六、（本题10分）设在区间上连续且为奇函数， 区域由曲线与、所围成， 求。
解令。如图所示，因为．显然，在上；在上．所以。
七、（本题10分） 设在区间上有连续导数，为正整数， 证明：
证明 由于在上连续， 所以存在对所有， 有， 从而
故。八、（本题10分） 设， 判别级数的敛散性。
解 （1）设级数一般项，考察。
由达朗贝尔判别法知道，当时级数收敛。2）设。
令，显然单增，下证其有界。
由可知。从而单调有界则其收敛，且其极限介于1与之间，从而存在，其值大于0，从而原级数发散。
综上所述：当时收敛，当时发散。
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